1.Матрицы.Виды матриц.

Матрица размерности(MxN)-таблица чисел,содержащая M строк и N столбцов.

M≠N -прямоугольная

M=N-квадратная

Матрица NxN-Квадратная матрица N Порядка.

Виды матриц:

1)Нулевая(все элементы равны нулю.)

2)Матрица-строка(состоит из 1 строки и n-столбцов.)

3)Матрица-столбец(1 столбец и M строк)

4)Диагональная матрица-квадратная матрица,элементы главной диагонали которой равны.

5)Единичная матрица-Диагональная матрица,элементы которой на главной диагонали равны.

6)Треугольная матрица-элементы которой по одну сторону от ГД равны.

7)Трапецевидная матрица-матрица,у которой элементы,не равные нулю составляют трапецию.

8)Транспонированная матрица-элементы строк и столбцов соответственно поменяны местами.

2.Действия над матрицами.

• Сложение.

Для сложения матриц необходимо соответственно сложить члены матриц.

• Вычитание

Для вычитания необходимо из элементов одной матрицы соответственно вычесть элементы другой матрицы.

• Умножение.

Для умножения матрицы на число,необходимо каждый элемент матрицы умножить на число.

• Умножение матриц.

Для этого необходимо,чтобы матрицы были согласованны,т.е. количество столбцов первой матрицы равнялось количеству строк второй.

Произведение проводится путем перемножения элемента столбца первой матрицы на соответствующий элемент строки второй.

3.Элементарные преобразования матриц.

• Любую строку\столбец можно умножить на число,отличное от нуля.

• К элементу строки\столбца можно прибавить элемент соответсвующей строки\столбца,умноженное на любое число,отличное от нуля.

• Стркои\столбцы можно менять местами.

• Транспонирование матрицы.

4.Определитель.Определение,правила вычисления.

Определитель-detA, число, находимое из квадратной матрицы определнным методом.

Для матрицы первого порядка это число А₁₁

Для матрицы второго порядка это разность произведений главной и побочной диагоналей.

Для матрицы третьего порядка детерминант находится следующим способoм:

Det A=(a₁₁ b₂₂ c₃₃ + a₂₁ b₃₂ c₁₃ + a₃₁ b₁₂ c₂₃)-(a₃₁ b₂₂ c₁₃+ a₁₁ b₃₂ c₂₃+ a₂₁ b₁₂ c₃₃)

Для матрицы 4 порядка выполняется операция понижения порядка и далее определитель находится по пункту нахождения определителя для матрицы третьего порядка.

5.Свойства определителей.*

1.Определитель матрицы равен определителю этой же транспонированной матрицы.

2.Если каждый член одной из строк матрицы равен нулю,что определитель матрицы равен нулю.

3.Если переставить две строки/столбца матрицы,определитель умножается на -1.

4.Общий множитель какого –либо ряда матрицы можно вынести за знак определителя.

5.При добавлении к любой строке/столбцу линейной комбинации другой строки/столбца определитель не меняется.

6.Если две строки/столбца матрицы совпадают,то матрица равна нулю.

7.Если несколько строк/столбцов матрицы соответственно пропорциональны,то определитель равен нулю.

8.Одну из строк/столбцов можно разложить на слагаемые и находить определитель от суммы матриц с первым рядом слагаемых и вторым.

9.В треугольной матрице определитель равен произведению членов главной диагонали.

10.Определитель Перемноженных матриц равен произведению определителей этих матриц.

11.В диагональной матрице определитель равен произведению элементов главной диагонали.

+Док-во п.10