50. Эйлеровы графы. Лемма о цикле. Теорема о необходимых и достаточных условиях эйлеровости графа

Определение. Если граф имеет цикл(не обязательно простой), содержащий все ребра графа по одному разу, то такой цикл называется эйлеровым циклом, а такой граф – эйлеровым графом.

Если граф имеет цепь (не обязательно простую), содержащую все ребра графа по одному разу, то такая цепь называется эйлеровой цепью, а граф – полуэйлеровым графом.

Лемма о цикле: Если в псевдографе G(V,E) есть хотя бы одно ребро и нет висячих вершин, то в нем существует по крайней мере один простой цикл.

Доказательство (конструктивное). Пусть в G имеется хотя бы одна петля e = (v,v), тогда простой цикл vev. Пусть в G имеются кратные рёбра , , тогда простой цикл . Пусть в G нет петель и кратных рёбер, а - смежные вершины, которые найдутся, так как в G есть ребро. Рассмотрим последовательность вершин в которой смежные, а . Поскольку в G не висячих вершин, такую последовательность можно продолжать неограниченно. Так как число вершин в графе конечно, то произойдёт совпадение , тогда - простой цикл.

Теорема о необходимых и достаточных условиях эйлеровости графов: для того, чтобы связный граф был эйлеровым, необходимо и достаточно, чтобы степени всех его вершин были четными.

Необходимость. Пусть G – эйлеров граф, следовательно, он обладает эйлеровым циклом. Двигаясь по циклу, будем подсчитывать степени вершин. Так как все рёбра в циклу различны, прохождение каждой вершины добавляет 2 в степень этой вершины. Так как в цикл входят все рёбра, то когда обход будет закончен, будут определены степени всех вершин, которые будут чётными.

Достаточность. Индукция по q. При q = 1 связный граф с чётными степенями вершин выглядит следующим образом: V = v, E = (v,v) , а в таком графе есть эйлеров цикл. Пусть для достаточность доказана для всякого псевдографа с числом рёбер меньшим q. Докажем её для графа G с числом рёбер q. В силу леммы о цикле, в G существует простой цикл . Если он содержит все рёбра графа G, эйлеров цикл найден. Если нет, удалим входящие в цикл рёбра из G, получим граф . Степени вершин при этом не изменятся либо уменьшатся на два, так что граф состоит из компонент связности, которые либо являются изолированными вершинами, либо графами с чётными степенями вершин. Пусть - компоненты связности , отличные от изолированных вершин. По индуктивному предположению, в каждой из них существует эйлеров цикл в силу связности G имеющий хотя бы одну общую вершину с циклом .

Построим эйлеров цикл для G следующим образом: двигаясь по циклу и попадая в очередную вершину присоединяем к циклу и следум дальше по . Полученный цикл будет эйлеровым.

51. Эйлеровы графы. Алгоритм Флери

Определение. Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все ребра графа по одному разу, то такой цикл называется эйлеровым циклом, а такой граф – эйлеровым графом.

Если граф имеет цепь (не обязательно простую), содержащую все ребра графа по одному разу, то такая цепь называется эйлеровой цепью, а граф – полуэйлеровым графом.

Алгоритм Флери (алгоритм построения эйлерова цикла).

Идем по ребрам графа, соблюдая правила:

1. Удаляем пройденные ребра и изолированные вершины, которые при этом образуются.

2. Идем по мосту только тогда, когда нет других возможностей.

По теореме граф является эйлеровым.

На диаграмме ребра пронумерованы в порядке их прохождения, таким образом эйлеров цикл

52. Гамильтоновы графы. Теорема Дирака.

Определение. Если граф имеет простой цикл, содержащий все вершины графа, то такой цикл называется гамильтоновым циклом, а граф – гамильтоновым графом. Если граф имеет цепь, содержащую все вершины, то такая цепь называется гамильтоновой цепью, а граф полугамильтоновым.

Теорема (Дирак). Если в графе G(V,E) с p вершинами , то граф G является гамильтовым.

Обратное неверно.

Пример. p = 8, , граф является гамильтовым.

Не существует алгоритмов получения гамильтонова цикла, эффективных в вычислительном смысле, то есть требующих полиномиального времени.

Теорема Дирака. Если в графе число вершин и степень каждой вершины , то в графе существует гамильтонов цикл. Условие не является необходимым. Доказательство: Докажем от противного. Пусть есть граф G , , гамильтонова цикла пусть нет. Если гамильтонова цикла нет, то его можно сделать гамильтоновым, добавив вершины и ребра. Обозначение u-добавленная вершина. Пусть граф имеет вид ,

-смежная с Тогда не смежная , иначе можно было бы построить , т.е.вершину не нужно было бы добавлять. Рассуждая дальше, получаем, что число вершин, смежных с , не меньше числа вершин, не смежных с . -число вершин, не смежных с ,

-число вершин, смежных с (степень), , но дано ,

Получаем противоречия , то есть для получения гамильтонова цикла новую вершину не нужно добавлять. Так проверить все добавленные вершины.