15 Вопрос.

1. Вторая квадратичная форма поверхности. Пусть F - элементарная гладкая поверхность класса С^k (k≥2), заданная уравнением r=r(u,v)

а γ- гладкая линия на этой поверхности. При смещении точки M по этой линии

мы имеем dr=

Отсюда находим d²r=

где

Длина вектора нормали N = [ , ] равна |[ , ]|= √ЕG - F² , поэтому вектор п, определяемый равенством n=

в каждой точке (u,v) является единичным вектором нормали к поверхности F , Так как __=__= 0, то, умножая равенство (1) скалярно на n, получаем

(2) n d²r=

Введем обозначения:

L=

M=

N=

Равенство (2) примет вид: n d²r= L(du)²+ 2Mdudv+N(dv)² (3)

Правая часть этого равенства является квадратичной формой относительно du, dv заданной в точке М. Эту форму называют второй квадратичной формой поверхности.

Найдем другое выражение для второй квадратичной формы. Так как вектор п ортогонален касательной плоскости, то ndr=0 (4)

Найдем дифференциал от левой и правой частей тождества (4), получим d²r*n+dr*dn=0

откуда вторая квадратичная форма равна II= d²r*n=-dr*dn

2. Кривизна кривой на поверхности. Пусть F - элементарная гладкая поверхность класса С^k (k≥2),, заданная уравнением r=r(u,v)

а γ- гладкая линия на этой поверхности, заданная уравнениями u=u(s), v=v(s), где s - естественный параметр, r=r(u(s),v(s))=r(s) пространственное уравнение линии γ. Найдем единичный вектор τ, касательный к линии γ точке М:

τ=

Вектор кривизны N кривой γ точке М по формуле Френе равен N = — = kv ,

где k; - кривизна, а v - единичный вектор главной нормали линии γ в точке М.

п - единичный вектор нормали к поверхности F в точке М.

Нормальной кривизной k_п линии γ в точке М называется проекция вектора

кривизны N на единичный вектор нормали п к поверхности F в этой точке: k_п=n p_п N

Следствия 1. k_п=n (kv)

Доказательство. Действительно

k_п=n p_п N= k_п=n p_п kv=kv cosφ= cosφ=n(kv)

2. Теорема 1. (Менье): k_п=kcosφ, где φ - угол между векторами n и N.

Доказательство. k_п=

Если γ - нормальное сечение поверхности, т. е. сечение поверхности плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в точке М, то, очевидно, либо п = v , либо п = -v . В первом случае k_п=k а во втором случае k_п=-k

Таким образом, имеет место следующее утверждение.

3. Абсолютная величина нормальной кривизны нормального сечения равна кривизне этого сечения.

Теорема 2.

k_п=

Замечания. 1. dr= - касательный вектор к кривой γ, лежащей на поверхности , в точке М, du, dv - координаты касательного вектора, которые определяют касательную прямую к γ в точке М.

2. Формула (5) показывает, что k_п зависит только от направления касательной, так как коэффициенты первой и второй квадратичных форм, вычисленные в точке М, являются числами.

Итак, нормальная кривизна k_п линии у поверхности F в точке М зависит

только от направления касательной. Следовательно, все гладкие линии поверхности, проходящие через точку М и имеющие в этой точке общую касательную, имеют в точке М одну и ту же нормальную кривизну, которая называется нормальной кривизной поверхности в данной точке и данном направлении.

Отсюда следует, что нормальная кривизна любой линии поверхности, проходящей через точку М (нормальная кривизна поверхности в точке М в данном направлении), с точностью до знака равна кривизне нормального сечения, имеющего с данной линией общую касательную.

• 3. Индикатриса Дюпена. На элементарной гладкой поверхности,

заданной уравнением r=r(u,v) рассмотрим точку М, в которой хотя бы один из коэффициентов второй квадратичной формы отличен от нуля, и касательную плоскость в этой точке (М, , ). На произвольной прямой этой плоскости, проходящей через точку М в обе стороны от точки М отложим отрезок МР,

длина которого равна ___Здесь k_п - отличная от нуля нормальная кривизна линий на поверхности, для которых данная прямая является касательной.

Линия, образованная концами Р отложенных таким образом отрезков, называется индикатрисой кривизны поверхности (или индикатрисой Дюпена) в точке М. В касательной плоскости введем аффинную систему координат М__, и найдем уравнение индикатрисы Дюпена. Точка Р(х,у) принадлежит индикатрисе Дюпена тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство: МР=

МР = τ - единичный направляющий вектор прямой МР, а и=и(s), v=v(s) какая-нибудь гладкая линия на поверхности, для которой вектор τ является единичным касательным вектором в точке М. Тогда МР = ± τ .

Имеем , или . Так как

векторы __ и __ не коллинеарны, то

x=

y=

Запишем формулу (5) в виде

k_п=

итак, k_п=

Выразим из (6) - - , - - и подставим в равенство (7), будем иметь:

k_п=

Разделим предыдущее равенство на /с_/( и получим уравнение индикатрисы Дюпена:

=±1 (8)

Так как нас интересуют только вещественные линии, возможны следующие три случая:

а) LN-M²>0. Уравнениями (8) определяется эллипс. В этом случае точка М называется эллиптической точкой поверхности. Частным случаем эллиптической точки является омбилическая точка, в которой индикатриса Дюпена есть окружность.

6} LN-M²<0. Уравнениями (8) определяется пара сопряженных гипербол. В этом случае точка М называется гиперболической точкой поверхности.

в) LN-M²=0 Уравнениями (8) определяется пара параллельных прямых. В этом случае точка М называется параболической точкой поверхности.

4. Главные направления. Пусть F - элементарная гладкая поверхность класса С^k (k≥2), точка М поверхности не является точкой уплощения, т. е. коэффициенты второй квадратичной формы одновременно не равны нулю,

Главные направления индикатрисы Дюпена в точке М поверхности F называются главными направлениями поверхности в этой точке.

Если точка М не является омбилической, то существует единственная пара главных направлений; в омбилической точке любое направление является главным. (Направления называются главными относительно кривой второго порядка, если они ортогональны и сопряжены; если векторы а(а₁, а₂), b(b₁, b₂), определяют главные направления относительно кривой второго порядка а₁₁х² + 2 а₁₂ху + а₂₂у² +2а₁₀х + 2а₂₀у + а₀₀ = 0, то аb=0 - условие ортогональности, условие сопряженности).

Пусть главные направления определяются векторами:

dr=

Найдем уравнения для определения главных направлений, для этого сначала запишем условия ортогональности и сопряженности:

Eduδu+F(duδv+δudv)+Gdvδv=0, (drδr=0)

Lduδu+M(duδv+δudv)+ Ndvδv=0

где L,M,N коэффициенты уравнения индикатрисы Дюпена

( =±1). Полученную систему перепишем в следующем виде:

Так как δu, δv одновременно не равны нулю, то

уравнение для определения главных направлений (dи:dv).

Теорема 3. (Родрига). Направление на поверхности, определяемое вектором dr, является главным тогда и только тогда, когда векторы dп и dr коллинеарны, причем

dn=-kdr (9)

где dn дифференциал единичного вектора нормали, соответствующий смещению dr точки М, а k - нормальная кривизна по направлению dr . Формула (9) называется формулой Родрига.

5. Главные кривизны. Нормальные кривизны по главным направлениям в точке А/ поверхности называются главными кривизнами поверхности в этой точке. Обозначение: k₁ k₂. Рассмотрим формулу Родрига: dn=-kdr

где k - это нормальная кривизна по главному направлению dr (т. е. главная кривизна).

Запишем формулу Родрига подробнее:

Главные кривизны k₁ k₂ являются корнями этого уравнения или следующего:

(EG-F²)k²-(EN-2FM+GL)k+(LN-M²)=0 (11)

6. Полная (гауссова) и средняя кривизны поверхности. Классификация точек на поверхности по знаку полной кривизны.

Полусумма главных кривизн Н = называется средней кривизной

поверхности в точке М Произведение главных кривизн К = k₁*k₂ называется полной (или гауссовой) кривизной поверхности в точке М. Из уравнения (11) по теореме Виета имеем:

H=

K=

Так как ЕG-F²>0, то из последней формулы следует, что в

эллиптических точках поверхности K>0, в гиперболических точках K<0, в параболических точках К=0.

7. Поверхности постоянной полной кривизны. Поверхность F называется поверхностью постоянной полной (соответственно средней) кривизны, если во всех точках этой поверхности К=const (Н= const).

Поверхность, в каждой точке которой средняя кривизна равна нулю, называется минимальной. Название объясняется тем, что среди всех поверхностей, ограниченных некоторым контуром, поверхность со средней кривизной, тождественно равной нулю, имеет минимальную площадь.

Примеры. 1. Плоскость поверхность постоянной нулевой полной кривизны. (К=0).

2. Сфера - поверхность постоянной полной положительной кривизны.

Действительно, каждая точка сферы является омбилической,

следовательно, k₁ = k₂ = (кривизна нормального сечения, которое

представляет из себя большую окружность), откуда имеем К = ---- = — >0 .

3. Псевдосфера поверхность постоянной полной отрицательной кривизны. Псевдосферой называется поверхность, полученная вращением трактрисы вокруг своей оси Оz. Трактриса имеет следующие параметрические уравнения:

x=a sin

z=

, тогда псевдосфера будет иметь следующие уравнения:

x=

y=

z=

По формуле К = находим К = <0