13 Вопрос

4. Гладкие поверхности. Элементарная поверхность Р называется гладкой класса С^k (k≥1), если она допускает параметризацию

x=x(u,v)

y=y(u,v)

z=z(u,v)

такую, что выполняются следующие два условия:

1) функции x(u,v), y(u,v), z(u,v) непрерывны по каждой переменной и имеют непрерывные частные производные до порядка k включительно;

2) rang( )=2

Простая поверхность называется гладкой класса С^k (k≥1), если у каждой ее внутренней точки М существует такая окрестность, что часть фигуры, содержащаяся в этой окрестности, является гладкой (элементарной) поверхностью класса С^k

5. Криволинейные координаты на поверхности. Координатные линии. Пусть гладкая элементарная поверхность F задана уравнениями (1). Если в уравнениях (1) положить υ= у_о = const и менять только и, но так как (u,v₀) принадлежит G , то мы получим векторную функцию одного скалярного аргумента и:r=r(u,v₀), и, значит, точка М, такая, что ОМ=r, опишет некоторую гладкую линию, лежащую на поверхности F. Эту линию называют линией и. Вектор r_u′ является вектором касательной к линии и в точке (u,v₀). Аналогично через каждую точку М принадл. F проходит гладкая линия и=сопзt или линия v. Вектор r_v′ является вектором касательной к этой линии. Если известна точка (u,v) принадл.G, то по формулам (1) определяется и точка М(х,у,z) принадл. F. Следовательно, параметры и и v вполне определяют точку М на поверхности . Учитывая это, параметры и, v называют криволинейными координатами точки М на поверхности F.

Таким образом параметризация поверхности F при помощи уравнений (1) (т. е. гомеоморфизм f: G→F) всегда приводит к определенной системе криволинейных координат u, v на этой поверхности. Причем семейство линий и, как и семейство линий v, покрывает поверхность F так, что через каждую точку М принадл. F проходят в точности одна линия и и одна линия v по различным направлениям (касательные векторы r_u′ и r_v′ к этим линиям в точке М не коллинеарны). Говорят, что линии и и v образуют на поверхности координатную сеть.

Задание линии на поверхности. Пусть элементарная гладкая поверхность F класса С^k задана в области G с R² векторным уравнением r=r(u,v),

Положим: u=u(t), v=v(t)

где t пробегает некоторый промежуток IсR, такой, что (и(t),v(t)) принадл. G при любом t принадл. I

Пусть в промежутке I функции и(t) и v(t) имеют непрерывные производные до порядка k включительно и производные —,— не обращаются в нуль одновременно ни в одной точке из I.

Подставив выражения переменных и и v по формулам (9) в уравнение (8), получим: .

r=r(u(t),v(t))

Правая часть уравнения (10) есть векторная функция одного скалярного аргумента t. Это уравнение определяет линию класса С^k , лежащую на поверхности F, и называется. пространственным уравнением кривой на поверхности. Уравнения (9) называются внутренними уравнениями кривой на поверхности.

8. Касательная плоскость и нормаль.

Пусть элементарная гладкая поверхность F класса С^k (k≥1), задана векторным уравнением r=r(u,v)

M₀(u₀,v₀) – произвольная точка этой поверхности.

Прямая, проходящая через точку М₀, называется касательной прямой к поверхности в точке M₀, если она является касательной к некоторой кривой, лежащей на поверхности.

Теорема. Все касательные прямые к поверхности в точке M₀ лежат в одной плоскости. Любая прямая этой плоскости является касательной прямой к поверхности в точке M₀.

Доказательство.I. Рассмотрим произвольную гладкую кривую γ, лежащую на поверхности F и проходящую через точку M₀, и допустим, что она определена уравнениями:

u=u(t)

v=v(t)

r=r(u(t), v(t)) – пространственное уравнение линии γ. Найдем касательный вектор к линии у в точке M₀: ________

(M_{0,____})- касательная прямая к кривой γ в точке M₀, направляющий вектор r′ которой разложен по векторам __и ___, а тогда плоскость (M_{0,__,__}), проходящая через точку M₀ и параллельная векторам ___ и ___ содержит касательную прямую (M_{0,__}).

(II) Рассмотрим произвольную прямую l= (M_{0,_}), лежащую в плоскости (M_{0,__,__}). Направляющий вектор прямой l – a=___+____ , где α и β одновременно не равны нулю. Рассмотрим линию γ₁, лежащую на поверхности F и заданную внутренними уравнениями

u=

v=

где t пробегает некоторый промежуток так. Что (u,v) принадл. G.

Очевидно, что линия γ_1, проходит через точку M₀. Пространственное уравнение линии γ₁ имеет вид:

r=r(

Найдем направляющий вектор касательной к кривой γ₁:

Так как ---=--, --=-- , то - - = a. Следовательно, касательная к линии γ₁. в

точке M₀ совпадает с прямой l

Плоскость, в которой лежат касательные ко всем линиям, лежащим на поверхности F и проходящим через точку M₀, называется касательной плоскостью к поверхности F в точке M₀. По доказанной теореме эта плоскость определяется точкой M₀ и неколлинеарными векторами __ и __. Двумерное векторное направляющее подпространство этой плоскости называют касательным векторным подпространством к поверхности F в точке M₀ и обозначают через Т_м0 .

Нормалью к гладкой поверхности F в точке M₀ принадл. F называется прямая, проходящая через точку M₀ перпендикулярно к касательной плоскости. Вектор N=[_,_], который перпендикулярен к двум неколлинеарным векторам __,___ параллельным касательной плоскости в точке М₀, перпендикулярен к касательной плоскости. Следовательно, прямая (М₀,N) является нормалью к поверхности F в точке M₀

Если гладкая поверхность задана векторной функцией r(u,v), то ее касательная плоскость в точке M₀ (х₀, y₀, z₀), где

х₀

y₀

z₀

имеет уравнение

где частные производные функций x(u,v), y(u,v), z(u,v)

n=

единичный вектор нормали,

уравнения нормали.