12 Вопрос

1. Пусть G - множество точек на плоскости. Точка X множества G называется внутренней точкой, если все достаточно близкие к X точки плоскости принадлежат множеству G. Это значит – существует такое положительное число ε, что все точки плоскости, расстояния которых от X меньше ε, принадлежат множеству G. Множество G называется открытым, если каждая его точка внутренняя. Множество G называется областью, если оно открытое и любые его две точки можно соединить ломаной, принадлежащей G.

Пусть G - область на плоскости. Точка X называется граничной точкой для области G, если найдутся сколь угодно близкие к X точки, принадлежащие G, и точки, не принадлежащие ей. Это значит, каково бы ни было ε>0, найдутся точки на расстоянии, меньшем ε, от точки X, принадлежащие G, и точки, не принадлежащие G. Граничные точки образуют границу области G. Присоединив к области ее границу, получим замкнутую область.

2. Понятие поверхности. 1. Элементарной поверхностью называется фигура, гомеоморфная плоской области.

Примеры: плоскость, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, параболический цилиндр - элементарные поверхности.

2. Простой поверхностью называется фигура, каждая точка которой имеет пространственную окрестность такую, что часть фигуры, содержащаяся в этой окрестности, является элементарной поверхностью.

Примеры: а) все элементарные поверхности являются простыми поверхностями;

6} сфера - простая, но не элементарная поверхность;

в) эллипсоид, однополостный гиперболоид, эллиптический цилиндр • простые поверхности.

3. Общей поверхностью называется фигура, полученная из простой поверхности при помощи локально топологического отображения.

Примеры: а) все простые поверхности являются общими поверхностями;

б) поверхность, изображенная на рис.10, является общей поверхностью, но не является простой;

Рис. 10

В) коническая поверхность - общая поверхность, но не простая.

3. Способы задания поверхности. Мы будем изучать простую поверхность в некоторой окрестности ее внутренней точки. Указанную окрестность можем выбрать так, что пересечение окрестности с поверхностью будет гомеоморфно плоскости (или открытому кругу). В дальнейшем мы будем обозначать через G плоскую область, гомеоморфную плоскости (т, е. гомеоморфную числовому пространству R²), а через F элементарную поверхность, являющуюся пересечением поверхности с достаточно малой окрестностью точки поверхности, т. е. ту элементарную поверхность, которая гомеоморфна области G.

1. Параметрическое. Зададим в пространстве прямоугольную систему

координат Оijk и рассмотрим тот гомеоморфизм f: G→F, который переводит область G в элементарную поверхность F. Если точка (u,v)принадлежит G переходит в точку М(х,у,z) принадлежит F , то х, у, z являются функциями (и притом непрерывными) от переменных u, v:

x=x(u,v)

y=y(u,v)

z=z(u,v)

определенными в области G. Уравнения (1) называются параметрическими уравнениями поверхности F.

2. Векторное. Уравнения (1) равносильны одному векторному уравнению

r =r(u,v)= x(u,v)i+ y(u,v)j+ z(u,v)k

где r =xi+ yj+ zk = ОМ - радиус-вектор точки М, описывающей поверхность.

3. Явное: z=f(х, у).

4. Неявное: F(х, у, z) =0 .