9 Вопрос

2. Репер Френе и сопровождающий трехгранник кривой. Пусть гладкая кривая γ задана уравнением r=r(s). Точка M принадлежит данной кривой, вектор τ = _____

единичный вектор касательной к кривой в точке M, прямая l₁=(M,τ), проходящая через точку М и параллельная вектору τ является касательной прямой к кривой в точке М (рис. 7).

Вектор N=-----=--- называется вектором кривизны, N = k ; так как вектор τ единичный, то N τ ; прямая l₂ = (M,N)=(М,--) называется главной нормалью кривой в точке M

Вектор υ=--- = --- единичный вектор главной нормали, --- = kυ, k - кривизна кривой, β= [τ,---] - единичный вектор бинормали, прямая l₃ =(М,β ) называется бинормалью кривой в точке М. Плоскость π₁=(М, τ, υ), проходящая через точку М и параллельная векторам τ, υ называется соприкасающейся плоскостью, π₂=(М, υ, β), -- нормальная плоскость, π₃=(М, τ, β), - спрямляющая плоскость.

С каждой точкой кривой можно связать тройку векторов, которая имеет ту же ориентацию, что и тройка координатных векторов I, j, k . Репер (M, τ, υ, β) называется каноническим репером кривой в точке М (или локальной системой координат, или репером Френе).

Совокупность трех прямых l₁, l₂, l₃ b и трех π_1, π_2, π₃ плоскостей называется сопровождающим трехгранником кривой γ (или естественным трехгранником кривой).

Для того, чтобы найти уравнения указанных прямых и плоскостей сопровождающего трехгранника, необходимо найти координаты начальной точки и направляющих векторов и воспользоваться известными уравнениями прямых и плоскостей: ------=-----=------ - канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(x₀,у₀,z₀) и параллельной вектору

- уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (х₀ , у₀ , z₀ ) и параллельной векторам р₁ = (α₁, β₁, γ₁) и р₂ = (α₂, β₂, γ₂). А(х -х₀) + В (у - у_о ) + С(z - z₀ ) = 0 - уравнение плоскости, проходящей через точку Mо (х₀ , y₀ , z₀ ) и ортогональной вектору n= (A, B, C) .

Напомним, что для векторов а = а₁i+ а₂j + а₃k ; b = b₁i+ b₂j + b₃k

векторное произведение:

смешанное произведение

11 Вопрос

1. Кручение гладкой кривой. Пусть γ - элементарная гладкая класса С^k (k≥3) кривая, заданная уравнением r=r(s).

Пусть Р - произвольная точка кривой γ и Q - точка кривой, близкая к Р. Обозначим через 0 угол между соприкасающимися плоскостями кривой в точках Р и Q, а через ׀∆s׀ - длину дуги РQ кривой (рис. 8).

Абсолютным кручением |х! кривой в точке Р называется следующий предел |х!=lim

Теорема 1. Гладкая кривая класса С^k (k≥3) в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, имеет определенное абсолютное кручение \x\. Если r=r(s) -естественная параметризация кривой, то

Доказательство. Если кривизна кривой γ в точке Р отлична от 0, то по непрерывности она отлична от нуля в точках, близких к Р. В каждой точке, где кривизна отлична от 0 векторы r_s' и r_ss " ненулевые и не параллельны. Поэтому в каждой точке Q, близкой к P существует определенная соприкасающаяся плоскость. Пусть β(s) и β(s+∆s) - единичные векторы бинормали в точках Р и Q кривой γ (рис. 9). О = <(β(s), β(s+∆s)). Так как векторы β(s) и β(s+∆s) единичные и образуют угол O, то

Рис. 9

Поэтому

Итак, имеем

Отсюда следует, что

Таким образом,

И, следовательно,

Найдем

Кручением кривой назовем

,

2. Понятие о натуральных уравнениях кривой. Вдоль кривой кривизна и кручение являются функциями длины дуги s. Уравнения k=φ(s), _________

задающие кривизну и кручение кривой как функции длины дуги s, называются натуральными уравнениями кривой.

Кривая своими натуральными уравнениями, если k>0, определяется однозначно с точностью до положения в пространстве.

4. Примеры. 1. Линия называется плоской, если все ее точки лежат в некоторой плоскости. Выберем систему координат так, чтобы плоскость Оху совпала с плоскостью кривой. Тогда данную кривую можно задать уравнением: r=x(s)i+y(s)j.

Продифференцировав это соотношение трижды по s, получим:

Л' "

Из первых двух равенств следует, что векторы τ и υ параллельны плоскости данной кривой. Отсюда вытекают следующие утверждения.

Соприкасающаяся плоскость плоской линии совпадает с плоскостью линии.

Главная нормаль плоской линии лежит в плоскости линии.

Кручение плоской пинии во всех точках равно нулю.