2 3. Понятие числового ряда, его суммы. Необходимое условие сходимости ряда.

Опр. Числовым рядом называется выражение  А    .

Наряду с {a_n}, рассмотрим последовательность частичных сумм  {A_n} :

А₁ = а₁; А₂ = а₁+а₂ = А₁+а₂; А₃ = а₁+а₂+а₃ = А₂+а₃; …; 

А_n − n^я  частичная сумма ряда  А .

Опр. Пусть   — числовой ряд. Число   называется n-ой частичной суммой ряда  .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм  , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число  , то в этом случае пишут  . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Теорема. Если ряд сходится, то   u_n=0.

Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… сходится, то есть существует конечный предел  =S. Тогда имеет место также равенство  =S, так как при n  и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем  -  =  = u_n=0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если  u_n≠0, то ряд u₁+u₂+…+u_n… расходится.