15. Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости.

Опр. (Фреше).

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в т. x₀ , если ее приращение в этой точке, соответствующее приращения x аргумента x может быть представлено в виде:

где

А-число не зависящее от

Опр. Дифференцируемая функция y=f(x) в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале.

Критерий дифференцируемости.

16. Дифференциал функции. Правила нахождения дифференциала. Дифференциал 1-го порядка от сложной функции.

Правила:

Основные правила нахождения дифференциала

 

1.       Дифференциал постоянной величины     dc=0.

2.       Дифференциал сумм                       d(u+v)=du+dv.

3.       Дифференциал произведения                  d(d·u)=du·v+dv·u.

4.       Дифференциал частного                 d = .

5.       Дифференциал сложной функции     y=f (u); u=f(x);dy=f ΄(u)·dxu.

Дифференциал 1го порядка от сложной функции

Дифференцирование сложной функции

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x₀, а функция g имеет производную в точке y₀ = f(x₀), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x₀.

Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой,   где y₀ = f(x₀), и   Пусть также эти функции дифференцируемы:   Тогда их композиция также дифференцируема:   и её производная имеет вид:

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции y = y(x), где x = x(t), принимает следующий вид:

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции z = g(y) в точке y₀ имеет вид:

где dy — дифференциал тождественного отображения  :

Пусть теперь   Тогда  , и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример

Пусть   Тогда функция   может быть записана в виде композиции   где

Дифференцируя эти функции отдельно:

получаем

17. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.

Теорема Ролля

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет условиям:

1. Она определена и непрерывна на отрезке

2. В каждой точке интервала имеет конечную производную

3. В концевых точках отрезка принимает равные значения

Тогда в интервале найдется хотя бы 1 точка, для которой производная равна 0.

Теорема Лагранжа (1736-1813)

Пусть f(x) удовлетворяет условиям:

1) определена и непрерывна на отрезке [a;b]

2) в концевых точках отрезка имеет конечную производную

Тогда в интервале [a;b] найдется хотя бы одна точка С, для которой справедливо равенство:

– формула конечного приращения

f(b)-f(a) = f^,(c)(b-a)

Доказательство:

y(x)=f(x)-λx

подберем λ так, чтобы y(x) aудовлетворяла всем условиям теоремы Ролля

1)определена и непрерывна

2) y^/(x)=f/(x)-λ

3) ᵠ(a)=ᵠ(b) ═>

=>

═>ᵠ(x)=f(x)-

Удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля ═> с принадлежит (a,b) ═>ᵠ’( c)=0═>

f’(c)- =0 => f’(c)=

^{Следствие:}

Если f(x) непрерывна на отрезке от а до в, дифференцируема в этом интервале и всюду в интервале f’(x)не равна 0, то f(a)не равно f(b).