
- •12. Производная функции. Геометрический смысл производной. Касательная к плоской кривой.
- •13. Теорема о непрерывности функции, имеющей конечную производную.
- •14. Бесконечные и односторонние производные. Теорема о производной сложной функции.
- •15. Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости.
- •16. Дифференциал функции. Правила нахождения дифференциала. Дифференциал 1-го порядка от сложной функции.
- •Основные правила нахождения дифференциала
- •17. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.
- •18. Достаточное условие возрастания (убывания) функции непрерывной на отрезке.
- •1. Достаточное условие возрастания и убывания функции.
- •19. Точки локального экстремума. Необходимое условие экстремума(теорема Ферма)
- •20. Первое и второе достаточные условия экстремума.
- •4.Первое и второе достаточные условия существования экстремума функции в точке.
- •21. Выпуклая функция. Критерий выпуклости. Точка перегиба функции. Критерий чуществования точки перегиба.
- •22. Асимптоты кривой. Теорема существования наклонной асимптоты.
- •2 3. Понятие числового ряда, его суммы. Необходимое условие сходимости ряда.
20. Первое и второе достаточные условия экстремума.
4.Первое и второе достаточные условия существования экстремума функции в точке.
Первое достаточное условие:
Если
непрерывная функция
дифференцируема
в некоторой -окрестности критической
точки
и
при переходе через нее (слева направо)
производная
меняет
знак с плюса на минус, то
есть
точка максимума; с минуса на плюс -
то
есть
точка минимума.
Доказательство:
Рассмотрим
-окрестность точки
.
Пусть
и
.
Тогда функция
возрастает
на интервале
,
а на интервале
она
убывает. Отсюда следует, что значение
в
точке
является
наибольшим на интервале
,
т.е.
для
всех
.
Следовательно
есть
точка максимума.
Второе достаточное условие:
Если
в точке
первая
производная функции
равна
нулю (
),
а вторая производная в точке
(
),
то при
в
точке
функция
имеет максимум, а при
–
минимум.
Доказательство:
Пусть
.
Т.к.
,
то
в
достаточно малой окрестности точки
.
Если
,
то
,
если
,
то
.
Из этого следует, что при переходе через
точку
первая
производная меняет знак с минуса на
плюс. Следовательно
есть
точка минимума.
21. Выпуклая функция. Критерий выпуклости. Точка перегиба функции. Критерий чуществования точки перегиба.
Определение. Пусть
–
промежуток,
:
.
Функция
называется выпуклой,
если всякий отрезок, соединяющий две
произвольные точки графика функции
,
лежит не ниже дуги графика функции
,
соединяющей эти точки.
Теорема
(критерий выпуклости для дифференцируемых
функций). Пусть
,
–
промежуток, функция
дифференцируема.
Функция
является
выпуклой тогда и только тогда, когда
функция
возрастает.
Доказательство.
Так
как
выпукла,
то выполняется неравенство (2). Перейдем
к пределу в этом неравенстве сначала
при
,
а затем при
.
По теореме о предельном переходе в
неравенствах имеем
,
значит,
возрастает.
Возьмем
любые
.
Применим теорему Лагранжа к функции
на
промежутке
,
а затем на
:
Так
как
возрастает,
то
Отсюда следует, что выпукла.
Точка
перегиба функции
внутренняя
точка
области
определения
,
такая что
непрерывна
в этой точке, существует конечная или
определенного знака бесконечная
производная в этой точке, и
является
одновременно концом интервала строгой
выпуклости вверх и началом интервала
строгой выпуклости вниз, или наоборот.
Необходимое
условие существования точки перегиба: если
функция f(x), дважды дифференцируемая в
некоторой окрестности точки
,
имеет в
точку
перегиба, то
.Достаточное
условие существования точки перегиба: если
функция
в
некоторой окрестности точки
раз
непрерывно дифференцируема, причем
нечётно
и
,
и
при
,
а
,
то функция
имеет
в
точку
перегиба.
22. Асимптоты кривой. Теорема существования наклонной асимптоты.
Определение
9. Прямая L называется асимптотой
кривой,
если при движении точкиP по
кривой в бесконечность, т.е. при
,
окажется, что расстояние от точки P до
прямой L стремится
к нулю.
На рис. 6, 7 и 8 приведены примеры асимптот.
Асимптоты могут быть наклонными и вертикальными, горизонтальными.
Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий
|
Прямая y = b называется горизонтальной
асимптотой графика
функции f (x) при x → +∞,
если
Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной
асимптотой графика
функции f (x) при x → +∞,
если
Аналогично
определяются горизонтальная и наклонная
асимптоты при x → –∞.
Для того чтобы прямая y = kx + b была наклонной асимптотой необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы