Решение варианта "а".

1 "а". Консультационная фирма претендует на 2 заказа от двух корпораций . Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что консультационная фирма получит оба заказа?

Решение. Обозначим события: А — получение консультационной работы в корпорации А; В — получение консультационной работы в корпорации В. События А и В — зависимые, так как событие В зависит от того, произойдет или нет событие А.

По условию мы имеем Р(А) = 0,45, а также знаем, что Р(В/А) = = 0,9. Необходимо найти вероятность того, что оба события ( и событие А, и событие В) произойдут, т.е. Р(АВ).По теореме умножения вероятностей Р(АВ) = Р(А) · Р(В/А) = 0,45 · 0,9 = 0,405.

Ответ: 0,405.

2 "а". Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность будет равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.

Решение. Определим события: А – акции компании поднимутся в цене в будущем году. Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н₁ — экономика страны будет на подъеме;

Н₂ — экономика страны не будет успешно развиваться.

По условию вероятности гипотез известны:

Р(Н₁) = 0,80; Р(Н₂) = 0,20

И условные вероятности события А:

Р(А/Н₁) = 0,75; Р(А/Н₂) = 0,30.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1.

Рассмотрим событие А — это или Н₁ А, или Н₂ А. События Н₁ А и Н₂ А — несовместные попарно, так как событие Н₁ и Н₂ — несовместны. События Н₁ и А, Н₂ и А — зависимые. Вышеизложенное позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности

Р(А) = Р(Н₁) · Р(А/ Н₁)+ Р(Н₂) · Р(А/ Н₂) =

= 0,80 · 0,75 + 0,20 · 0,30 = 0,660.

Ответ: 0,660.

3 "а". Известно, что в определенном городе 20 % горожан предпочитают добираться на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 4 человека.

1. Составьте ряд распределения числа людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, и постройте его график.

2. Найдите числовые характеристики этого распределения.

3. Напишите функцию распределения числа людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, и постройте ее график.

Решение. В качестве случайной величины в данной задаче выступает число людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом. Обозначим ее через Х. Перечислим все возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Вероятность того, что каждый из отобранных людей добираться на работу личным автотранспортом, постоянна и равна 0,2

(р = 0,2). Вероятность противоположного события, т.е. того, что каждый из отобранных людей предпочитает добираться на работу не личным автотранспортом, а как-то иначе, также постоянна и составляет 0,8 (q = 1 – р = 1 – 0,02 = 0,8).

Все 4 испытания независимы, т.е. вероятность того, что каждый из отобранных людей предпочитает добираться на работу личным автотранспортом, не зависит от того, каким способом предпочитает добираться на работу любой другой человек из числа случайно отобранных.

Очевидно, что случайная величина Х подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n = 4 и р = 0,2.

Итак, по условию задачи:

n = 4; р = 0,2; q = 0,8; Х = m.

1. Чтобы построить ряд распределения, необходимо вычислить вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений, и записать полученные результаты в таблицу.

Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли:

.

Подставим в эту формулу данные задачи.

Получим ряд распределения числа людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, который отражен в таблице

Х	0	1	2	3	4
Р	0,4096	0,4096	0,1536	0,0256	0,0016

Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей должны быть равна 1.

Проверка: 0,4096 +0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + 0,0016 = 1.

Вместо ряда распределения дискретная случайная величина может быть задана графически многоугольником (полигоном) распределения .

Р

0,45 0,4096 0,4096

0,40 ● ●

0,35

0,30

0,25

0,20

0,15 ● 0,1536

0,10

0,05 ● 0,0256

0 ● 0,0016

0 1 2 3 4 Х_i

2. Найдем основные числовые характеристики распределения данной случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

Математическое ожидание любой дискретной случайной величины может быть рассчитано по формуле

Но, ввиду того, что в данном случае речь идет о математическом ожидании частоты, для его расчета можно воспользоваться более простой формулой

М(Х = m) = nр = 4 · 0,2 = 0,8 (чел.).

Рассчитаем дисперсию числа человек, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, среди 4 отобранных. Дисперсия любой дискретной случайной величины может быть рассчитана по формуле

В данном случае речь идет о дисперсии частоты, а ее можно найти по формуле

D(Х = m) = nрq = 4 · 0,2 · 0,8 = 0,64 (чел.²).

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение числа людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом. Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле

3. Дискретную случайную величину можно задать функцией распределения

,

где для каждого значения х суммируются вероятности тех значений х_i, которые лежат левее точки х.

Зададим функцию распределения дискретной случайной величины применительно к условию данной задачи:

Для построения графика функции распределения вероятностей дискретной случайной величины необходимо рассчитать кумулятивные (накопленные) вероятности, соответствующие значениям случайной величины. Алгоритм их расчета вытекает из смысла функции распределения:

Эта формула справедлива для всех , кроме . Так как функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее заданного, понятно, что вероятность того, что случайная величина примет значение, не более минимального, равна 0, т.е. = 0.

Рассчитаем значения

Эти данные можно представить и в виде таблицы

Х	х ≤ 0	0 < х ≤ 1	1 < х ≤ 2	2 < х ≤ 3	3 < х ≤ 4	х > 4
F(х)	0	0,4096	0,8192	0,9728	0,9984	1

График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид. Скачки равны вероятностям, с которыми случайная величина принимает возможные значения

F(х)

F(х)=0,9984 F(х)=1

1 ,0 F(х)=0,9728

0 ,8 F(х)=0,8192

0 ,6

0 ,4 F(х)=0,4096

0 ,2 F(х)=0

0 х_i

Х 0 1 2 3 4

4 "а". На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туши — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с неизвестным математическим ожиданием и средним квадратическим отклонение σ = 150 кг. Известно, что 37,07 % туш имеют вес более 1000 кг. Определите ожидаемый вес случайно обобранной туши.

Решение. По условию задачи σ = 150, Р(Х > 1000) = 0,3707. Ожидаемый вес случайно отобранной туши – это среднеожидаемый вес (математическое ожидание), т.е. а = ? Используем формулу расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х

или ;

По таблице функции Лапласа находим функция Ф(t) = 0,1293, t = 0,33, отсюда

1000 – а = 150 · 0,33 = 50, а = 1000 – 50 = 950.

Ответ: среднеожидаемый вес случайно отобранной туши составляет 950 кг.

5"а". Средняя длина детали 50 см, а дисперсия 0,1. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.

Решение. Пусть Х — длина случайно взятой детали. Из условия задачи следует, что М(Х) = 50, а D(Х) = 0,1. Требуется оценить снизу величину Р(49,5 < Х < 50,5). Так как неравенства 49,5 < Х < 50,5 равносильны неравенству , то необходимо оценить . Но это левая часть неравенства Чебышева, поскольку М(Х) = 50. Отсюда

.

Ответ: .

6"а". С помощью собственно-случайного повторного отбора руководство фирмы провело выборочное обследование 900 своих служащих. Средний стаж их работы в фирме равен 8,70 года, а среднее квадратическое (стандартное) отклонение — 2,70 года. Среди обследованных оказалось 270 женщин. Считая стаж работы служащих фирмы распределенным по нормальному закону, определите: а) с вероятностью 0,95 доверительный интервал, в котором окажется средний стаж работы всех служащих фирмы; б) с вероятностью 0,90 доверительный интервал, накрывающий неизвестную долю женщин во всем коллективе фирмы.

Решение. а). Найдем границы доверительного интервала среднего стажа работы всего коллектива фирмы, т.е. границы доверительного интервала для генеральной средней.

По условию .

Используем формулу доверительной вероятности

.

Находим t из соотношения 2Ф(t) = 0,95, Ф(t) = 0,475. По таблице функции Лапласа t = 1,96.

Найдем предельную ошибку выборки

,

.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно ожидать, что средний стаж работы всего коллектива фирмы находится в интервале от 8,5236 до 8,8764 года.

б). Теперь оценим истинное значение доли женщин во всем коллективе фирмы.

По условию m = 270; n = 900; γ =0,90. Выборочная доля

W = 270/900 = 0,30. Найдем предельную ошибку выборки

Значение t находим по таблице функции Лапласа при условии 2Ф(t) =

= 0,90, t = 1,64.

.

Находим доверительный интервал для генеральной доли

или

0,30 – 0,0251 < Р < 0,30 + 0,0251;

0,2749 < Р < 0,3251.

Итак, с вероятностью 0,90 можно ожидать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0,2749 до 0,3251.

Ответ: можно ожидать, что с вероятностью 0,95 средний стаж работы всех служащих фирмы находится в интервале от 8,5236 до 8,8764 года. С вероятностью 0,90 можно гарантировать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0,2749 до 0,3251.

7"а". По данным таблицы необходимо найти:

1) числовые характеристики ;

2. коэффициент корреляции;

3. уравнения прямых регрессий Х на У и У на Х ;

4. построить корреляционное поле и график уравнения регрессии У на Х ;

5. указать отклонения между теоретическими и экспериментальными значениями и ;

6. сделать оценку коэффициента корреляции генеральной совокупности относительно коэффициента корреляции выборочной совокупности.

У Х	1	2	4	6	7	ni
1	1	2	3			6
2		2	2	3		6
3			2	4	2	8
4				1	2	3
mj	1	3	7	8	4	23

Решение варианта "а".

1. По известным формулам находим числовые характеристики:

; .

Находим и :

2. Теперь будем находить

Определим для полной задачи :

Определяем коэффициенты регрессии у на х и х на у:

;

.

Сделаем проверку

.

3. Уравнение регрессии У на Х находим в виде . Для этого решаем систему уравнений

Или

; ;

а = 1,3; b = 1,77;

Аналогично для уравнения регрессии Х на У

Можно воспользоваться при наличии линейной функциональной связи между переменными х на у формулами

и .

4. По исходной таблице в системе координат строим корреляционное поле и прямую регрессии

7 ◦ D´

◦ D

6

С◦◦С´

5

В ◦

4 ◦ В´

3 А´◦

◦ А

1 2 3 4 5

Определяем координаты точек А, В, С, D:

точка А имеет координаты (х; у), где х = 1 у = (1·1+2·2+4·3):6 = 2,83

т.е. А (1; 2,83);

точка В (2; 1/6 (2·1+4·2+6·3)), т.е. В (2; 4,67);

точка С (3; 1/8 (4·2+6·4+7·2)), т.е. С (3; 5,75);

точка D (4; 1/3 (6·1+7·2)), т.е. D (4; 6,67).

Согласно уравнению регрессии точки на прямой будут иметь координаты: А´ (1; 3,07); В´(2; 4,37); С´(3; 5,67); D´(4; 6,97).

5. Следовательно, отклонения между теоретическими значениями и экспериментальными составляют: 0; 24; – 0,30;

– 0,08; 0,30.

6. Если обозначим Г₂ и r коэффициенты корреляции генеральной и выборочной совокупностей, то для оценки Г₂ в том случае, когда признаки генеральной совокупности нормально распределены, можно воспользоваться формулой

Г – 3σ_r < Г₂ < Г + 3σ_r , где

.

В нашем случае , тогда

r – 3σ_r < Г₂ < Г+ 3σ_r ; 0,55 < Г₂ < 0,97.

Оценка плохая, так как выборка малого объема. Минимальный объем для задачи корреляции n = 50.

Учебное издание

Минченкова Лариса Павловна

Соклакова Галина Григорьевна