4. Рекомендуемая литература

Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика. Мн.: Вышэйш. шк., 1993.

Лихолетов И.И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. Мн.: Вышэйш. шк., 1976.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш.шк., 1977.

Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. М.: Финансы и статистика. 1982.

Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964.

Колемаев В.А. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 1991.

Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. Мн.: Вышэйш. шк., 1976.

Вуколов Э.А. и др. Сборник задач по математике для втузов: Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1990.

Кузнецов А.В. Применение критериев согласия при математическом моделировании экономических процессов. Мн.: БГИНХ, 1991.

Мацкевич И.П., Минченкова Л.П. Методические указания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Мн.: БГИНХ, 1990.

Денисенко Н.В. и др. Методические указания по теории вероятностей и математической статистике. Мн.: БГИНХ, 1990.

Савич Л.К., Черторицкий Ю.Н. Методические указания по разделу «Математическая статистика» курса теории вероятностей и математической статистики. Мн.: БГИНХ, 1987.

Мацкевич И.П. Случайный вектор и случайный процесс. Мн.: БГИНХ, 1981.

Мацкевич ИП. Марковские процессы и их применение в экономике. Мн.: БГИНХ, 1976.

Сборник задач по математике для втузов: Ч.3. Теория вероятностей и математическая статистика / Под ред. А.Е. Ефимова. М.: Наука, 1990.

Контрольные задания

1. Анализ работы кредитного отдела банка выявил, что 12 % фирм, бравших кредит в банке, обанкротились и не вернут кредиты, по крайней мере, в течение 5 лет. Также известно, обанкротились 20 % кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то чему равна вероятность того, что он окажется не в состоянии вернуть долг банку?

2. Для оплаты контракта на 10 млн р. сделана заявка на кредит в трех банках: в первом на 6 млн р., во втором на 4 млн р., в третьем на 5 млн р. Вероятность получения кредита в каждом из банков соответственно равна 0,5; 0,8 и 0,6. Какова вероятность того, что полученной суммы денег будет достаточно для оплаты кредита?

3. Торговый агент предлагает клиентам иллюстрированную книгу. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем 1 из 65 клиентов, которым он предлагает книгу, покупает ее. В течение некоторого промежутка времени он предложил книгу 20 клиентам. Чему равна вероятность того, что он продаст им хотя бы одну книгу?

4. В налоговом управлении работают 120 сотрудников, занимающих различные должности.

Все сотрудники	Руководители	Рядовые сотрудники	Итого
Мужчины	29	67	96
Женщины	4	20	24
Итого:	33	87	120

На профсоюзном собрании женщины заявили о дискриминации при выдвижении на руководящие должности. Правы ли они?

5. Покупатель может приобрести акции двух компаний А и Б. Надежность первой оценивается экспертами на уровне 90 %, а второй — 80 %. Чему равна вероятность того, что: а) обе компании в течение года не станут банкротами; б) наступит хотя бы одно банкротство?

6. Эксперты торговой компании полагают, что покупатели, обладающие пластиковой карточкой этой компании, дающей право на скидку, с 90 %-ной вероятностью обратятся за покупкой определенного ассортимента товаров в ее магазины. Если это произойдет, обладатель пластиковой карточки приобретет необходимый ему товар в магазинах этой компании с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что обладатель пластиковой карточки торговой компании приобретет необходимый ему товар в ее магазинах?

7. В городе 3 коммерческих банка, оценка надежности которых — 0,95, 0,90 и 0,85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города администрацию интересуют ответы на следующие вопросы:

а) какова вероятность того, что в течение года обанкротятся все 3 банка;

б) обанкротится хотя бы один банк?

8. О двух акциях А и В известно, что они выпущены одной и той же отраслью. Вероятность того, что акция А поднимется завтра в цене, равна 0,2. Вероятность того, что обе акции А и В поднимутся завтра в цене, равна 0,12. Предположим, что вы знаете, что акция А поднимется в цене завтра. Чему равна вероятность того, что и акция В завтра поднимается в цене?

9. Инвестор предполагает, что в следующем периоде вероятность роста цены акций компании N будет составлять 0,7, а компании М — 0,4.Вероятность того, что цены поднимутся на те и другие акции, равна 0,28. Вычислите вероятность их роста для компании N или компании М, или обеих компаний вместе.

10. Финансовый аналитик предполагает, что если норма (ставка) процента упадет за определенный период, то вероятность того, что рынок акций будет расти в это же время, равна 0,80. Аналитик также считает, что норма процента может упасть за этот же период с вероятностью 0,40. Используя полученную информацию определите вероятность того, что рынок акций будет расти, а норма процента падать в течение обсуждаемого периода.

11. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80 %. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 0,95, а отрицательные — с вероятностью 0,99. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?

12. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку тракторов в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае — в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?

13. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна 0,30. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,70. Чему равна вероятность успеха сделки?

14. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса — 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

15. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпускает аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

16. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70 % женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40 % мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предполагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?

17. Два станка-автомата производят одинаковые детали, поступающие на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. 1-й автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а 2-й — 84 % деталей отличного качества. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена: а) 1-м автоматом; б) 2-м автоматом.

18. На химическом комбинате установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,950. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?

19. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,75 и 0,10 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация «хорошая», с вероятностью 0,30, когда ситуация «непосредственная», и с вероятностью 0,15, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?

20. Количество акций, представленных тремя различными предприятиями на наличный рынок, относится как 2:5:3. Вероятности того, что акции будут котироваться по 250 у.е. за каждую соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,8. Известно, что цена случайно выбранной оказалась равной 250 у.е. Найти вероятность того, что эта акция представлена 3-м предприятием.

21. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 25 %. Составьте ряд распределения числа (25) банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротится не более одного банка?

22. В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимости которых 210 и 60 у.е. Составьте ряд распределения суммы выигрыша для лица, имеющего: а) один билет; б) два билета. Стоимость билета — 3 у.е. Найдите числовые характеристики этих распределений. Запишите в общем виде функции распределения вероятностей и постройте их графики.

23. Хорошим считается руководитель, принимающий не менее 70 % правильных решений. Такому управляющему банком предстоит принять решения по 4 важным вопросам банковской политики. Считая вероятность принятия правильного решения постоянной, составьте ряд распределения возможного числа правильных решений управляющего; постройте его график, найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что управляющий примет менее 3 правильных решений?

24. В банк поступило 30 авизо. Подозревают, что среди них 5 фальшивых. Тщательной проверке подвергается 15 случайно выбранных авизо. Составьте ряд распределения числа фальшивых авизо, которые могут быть выявлены в ходе проверки; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в ходе проверки обнаружится менее 2 фальшивок?

25. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. При условии, что 3 % счетов содержат ошибки, составьте ряд распределения правильных счетов. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что хотя бы один счет будет с ошибкой?

26. Записи страховой компании показали, что 30 % держателей страховых полисов старше 50 лет потребовали возмещения страховых сумм. Для проверки в случайном порядке было отобрано 15 человек старше 50 лет, имеющих полисы. Составьте ряд распределения числа предъявленных претензий. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 10 человек потребуют возмещения страховых сумм?

27. Для проверки точности своих финансовых счетов компания регулярно пользуется услугами аудиторов. Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают примерно 5 % ошибок. Аудитор случайным образом отбирает 3 входящих документа. Составьте ряд распределения числа ошибок, выявленных аудитором. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Определите вероятность того, что аудитор обнаружит более одной ошибки.

28. Агрофирму обслуживают 4 грузовые автомашины. Вероятность своевременного прибытия для этих грузовиков соответственно равна 0,7; 0,8; 0,6 и 0,9. Составьте ряд распределения числа грузовиков, прибывших своевременно на агрофирму. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 2 грузовика прибудут своевременно.

29. Госторгинспекция провела проверку 4 продовольственных магазинов города. Проверка обнаружила, что вероятности продажи продуктов с повышенным содержанием нитратов в этих магазинах соответственно равны 0,3; 0,2; 0,15 и 0,1. Составьте ряд распределения числа магазинов, в которых продажа продуктов производилась с повышенным содержанием нитратов. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 2 магазина производят продажу продуктов с повышенным содержанием нитратов.

30. На предприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Составьте ряд распределения числа отказов оборудования в течение часа. Найдите числовые характеристики этого распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в течение часа откажут как минимум 2 единицы оборудования?

31. Дневная добыча угля в некоторой шахте есть случайная величина Х, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60 т. Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты, по крайней мере, 8000 т угля. Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 750 до 850 т угля. Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 665 т.

32. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 48 у.е., и средним квадратическим отклонением, равным 6 у.е. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена на акцию была: а) более 60 у.е.; б) ниже 60 за акцию; в) выше 40 за акцию; г) от 40 до 50 у.е. за акцию.

33. Известно, что прогноз относительно величины банковской процентной ставки в текущем году подчиняется нормальному закону со средним значением а = 9 % и стандартным отклонением  %. Из группы аналитиков случайным образом отбирается один человек. Найдите вероятность того, что согласно прогнозу этого аналитика уровень процентной ставки: а) превышает 11 %; б) окажется менее 14 %; в) будет в пределах от 12 до 15 %.

34.Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением и неизвестным математическим ожиданием. В 90 % случаев число ежемесячных заказов превышает 12 439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

35. Еженедельный выпуск продукции на заводе приблизительно распределен по нормальному закону со средним значением, равным 134 786 ед. продукции в неделю, и стандартным отклонением 13 000 ед. Найдите вероятность того, что еженедельный выпуск продукции: а) превысит 15 000 ед.; б) окажется ниже 100 000 ед. в данную неделю; в) предположим, что возникли трудовые споры, и еженедельный выпуск продукции стал ниже 80 000 ед. Менеджеры обвиняют профсоюз в беспрецедентном падении выпуска продукции, а профсоюз утверждает, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня (±3 ). Можно ли доверять профсоюзу?

36. Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, — нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65 % контейнеров имеют чистый вес больше, чем 4,9 т и 25 % — меньше, чем 4,2 т. Найдите ожидаемый средний вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнеров.

37. Компания А покупает у компании В детали к контрольным приборам. Каждая деталь имеет точно установленный размер. Деталь, размер которой отличается от установленного размера более чем на 0,25 мм, считается дефектной. Компания А требует от компании В, чтобы доля брака не превышала 1 % деталей. Если компания В выполняет требования компании А, то каким должно быть допустимое максимальное стандартное отклонение размеров деталей? Учесть, что размер деталей есть случайная величина, распределенная по нормальному закону.

38. Эксперимент показал, что стандартное отклонение срока службы автопокрышек фактически остается постоянным от партии к партии и составляет 2 500 км. Если компания хочет, чтобы 80 % выпускаемых автопокрышек имели срок службы не менее 25 000 км, то какой наименьший средний срок службы автопокрышек должен быть заложен в расчетах технического отдела? Считать срок службы автопокрышек нормально распределенным.

39. Менеджер торгово-посреднической фирмы получает жалобы от некоторых клиентов на то, что служащие фирмы затрачивают слишком много времени на выполнение их заказов. Собрав и проанализировав соответствующую информацию, он выяснил, что среднее время выполнения заказа составляет 6,6 дней, однако, для выполнения 20 % заказов потребовалось 15 дней и более. Учитывая, что время выполнения заказа есть случайная величина, распределенная по нормальному закону, определите фактическое стандартное отклонение времени обслуживания клиентов.

40. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса 1,06 кг. Известно, что 5 % коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Каков % коробок, масса которых превышает 940 г? Учесть, что масса коробок есть случайная величина, распределенная по нормальному закону.

41. Суточный расход воды в населенном пункте является случайной величиной, среднеквадратичное отклонение которой равно 10 000 л. Оценить вероятность того, что расход воды в этом пункте в течение суток отклоняется от математического ожидания по абсолютной величине более, чем на 25 000 л.

42. Среднее число солнечных дней для данной местности равно 90. Оценить вероятность того, что в течение года в этой местности будет не более 240 солнечных дней.

43. Среднесуточное потребление электроэнергии в населенном пункте равно 12 000 кВт·ч. Оценить вероятность того, что потребление электроэнергии в этом населенном пункте в течение данных суток превзойдет 50 000 кВт·ч

44. Длина изготавливаемых деталей является случайной величиной, среднее значение которой 50 мм. Среднеквадратическое отклонение этой величины равно 0,2 мм. Оценить вероятность того, что отклонение длины изготовленной детали от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4 мм.

45. Среднеквадратичное отклонение каждой из 450 000 независимых случайных величин превосходит десять. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднеарифметической этих случайных величин от среднеарифметической их математических ожиданий не превзойдет 0,02.

46. Дисперсия каждой из 30 000 независимых случайных величин не превышает шести. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения среднеарифметической случайных величин от среднеарифметической их математических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,92?

47. Определить необходимое число опытов, которые нужно провести, чтобы отклонение частоты появления события А от вероятности его появления в отдельном опыте равной 0,75, не превзошло по абсолютной величине 0,05 с вероятностью 0,96.

48. Произведено 500 независимых испытаний: в 200 из них вероятность появления события А была равна 0,4, в 180 — 0,5 и в 120 — 0,6. Оценить снизу вероятность того, что отклонение частоты от средней вероятности не превысит по абсолютной величине 0,05.

49. Вероятность выпуска радиолампы с дефектом равна 0,03. Найти максимально возможное отклонение ε частости от 0,03 среди 2000 радиоламп, чтобы вероятность получить отклонение, по абсолютной величине меньшее ε, была равна 0,999.

50. Взято 800 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе одинакова и равна 0,3. Считая событие, вероятность наступления которого 0,997, достоверным, найти границы числа проб с промышленным содержанием металла во взятой партии проб.

51. С целью изучения размеров дневной выручки в сфере мелкого частного бизнеса была произведена 10 %-ная случайная бесповторная выборка из 1000 торговых киосков города. В результате были получены данные о средней дневной выручке, которая составила 500 у.е. В каких пределах с доверительной вероятностью 0,95 может находиться средняя дневная выручка всех торговых точек изучаемой совокупности, если среднее квадратическое отклонение составило 150 у.е.?

52. Для оценки числа безработных среди рабочих одного из районов города в порядке случайной повторной выборки собраны 400 человек рабочих специальностей. 25 из них оказались безработными. Используя 95 %-ный доверительный интервал, оцените истинные размеры безработицы среди рабочих этого района.

53. Выборочные обследования показали, что доля покупателей, предпочитающих новую модификацию товара А, составляет

60 % от общего числа покупателей данного товара. Каким должен быть объем выборки, чтобы можно было получить оценку генеральной доли с точностью не менее 0,05 при доверительной вероятности 0,90?

54. Выборочное обследование деятельности коммерческих банков региона показало, что в среднем каждый банк имеет 10 филиалов в регионе (со стандартным отклонение, равным 5). Найдите объем выборки, позволивший сделать такую оценку, если предельная ошибка по выборочной средней находится в пределах 20 % от ее фактического значения, а доверительная вероятность составляет 0,95.

55. Из партии, содержащей 8000 телевизоров, отобрано 800. Среди них оказалось 90 %, удовлетворяющих стандарту. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9545 заключена доля телевизоров, удовлетворяющих стандарту, во всей партии для повторной и бесповторной выборок.

56. Партия изделий считается годной к выпуску, если брак в ней не превышает 3 %. Из партии в 2000 изделий было отобрано и проверено 400. При этом бракованных изделий оказались 6. Какова вероятность того, что вся партия удовлетворяет техническим условиям и может быть принята?

57. Из 400 коммерческих фирм налоговой инспекцией было проверено 100, сокрытие налогов среди которых приведено в таблице.

Сумма, тыс. р.	Количество фирм
40 – 42	7
42 – 44	24
44 – 46	38
46 – 48	19
48 – 50	12
	n = 100

Найти доверительную вероятность того, что среднее сокрытие налогов всех 400 фирм отличается от выборочного среднего не более, чем на 0,4 тыс. р. Рассмотреть случаи повторной и бесповторной выборок.

58. Аудиторская фирма желает проконтролировать состояние счетов одного из коммерческих банков. Для этого случайным образом отбираются 50 счетов. По 20 счетам из 50 отобранных имело место движение денежных средств в течение месяца. Постройте 99 %-ный доверительный интервал, оценивающий долю счетов в генеральной совокупности, по которым имело место движение денежных средств в течение месяца.

59. Выборочные обследования малых предприятий города показали, что 95 % малых предприятий в выборке относятся к негосударственной форме собственности. Приняв доверительную вероятность равной 0,954, определите, в каких границах находится доля негосударственных малых предприятий в генеральной совокупности, если в выборку попало 100 предприятий?

60. Выборочно обследовали качество кирпича. Из 1600 проб в 32 случаях кирпич оказался бракованным. Требуется определить, в каких пределах заключается доля брака во всей продукции, если результат необходимо гарантировать с вероятностью γ = 0,954.

В задачах 61—70 по заданной корреляционной таблице определить:

1. числовые характеристики ;

2. коэффициент корреляции;

3. уравнения прямых регрессий Х на У и У на Х ;

4. построить корреляционное поле и график уравнения регрессии У на Х ;

5. указать отклонения между теоретическими и экспериментальными значениями и ;

6. сделать оценку коэффициента корреляции генеральной совокупности относительно коэффициента корреляции выборочной совокупности.

В задачах 61—65 даны распределения заводов по производственным средствам Х (у.е.) и по суточной выработке У (т).

61.

У Х	12	16	20	24	28	32	nх
20	3	4					7
30		2	6				8
40			3	50	4		57
50			2	8	6		16
60				3	7	2	12
nу	3	6	11	61	17	2	100

62.

У Х	18	23	28	33	38	43	48	nх
25		1						1
30	1	2	5					8
35		3	2	12				17
40			1	8	7			16
45					3	3		6
50						1	1	2
nу	1	6	8	20	10	4	1	50

63.

У Х	5	10	15	20	25	30	35	nх
27						6	1	7
32						4	2	6
37			8	10	5			23
42	3	4	3					10
47	2	1		1				4
52					3	1		4
57			1	1		2	2	6
nу	5	5	12	12	8	13	5	60

64.

У Х	10	15	20	25	30	35	nх
35	5	1					6
45		6	2				8
55			5	40	5		50
65			2	8	7		17
75				4	7	8	19
nу	5	7	9	52	19	8	100

65.

У Х	12	14	16	18	20	22	nх
23	2	4					6
25		6	2				8
27			3	50	2		55
29			1	10	6		17
31				4	7	3	14
nу	2	10	6	64	15	3	100

В задачах 66—70 даны распределения двух случайных величин Х и У: личный доход Х (у.е.) и личные сбережения У (у.е.).

66.

Х У	30	40	50	60	70	80	nу
15					11	7	18
20				3	1	1	5
25			3	32	6		41
30		10	14	3			27
35	1	2	6				9
nх	1	12	23	38	18	8	100

67.

Х У	15	20	25	30	35	40	nу
21	3	4					7
24		5	3				8
27			2	48	4		54
30			2	11	4		17
33				5	7	2	14
nх	3	9	7	64	15	2	100

68.

Х У	41	44	47	50	53	56	59	nу
18	4		6	7	8	3		28
23	5	4	2	10				21
28	5	6				2	3	16
33		6	5	4			2	17
38	5	1	2	4	3		3	18
nх	19	17	15	25	11	5	8	100

68.

Х У	60	65	70	75	80	85	100	nу
18	3	2						5
20		5	3					8
22			4	35	7			46
24			3	9	6	2		20
26				4	7	8	2	21
nх	3	7	10	48	20	10	2	100

70.

Х У	65	70	75	80	85	90	95	nу
12					10	6	2	18
22						4	1	5
32			2	7	4	2		15
42			1	25				26
52		4	6		1			11
62	1	5	8	2				16
72	1	2	6					9
nх	2	11	23	34	15	12	3	100