Начисление процентов в смежных календарных периодах.

Если общий срок ссуды захватывает два смежных календарных периода, причем на первый период приходится срок n₁, на второй — n₂, то

Переменные ставки. В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:

где i_t - ставка простых процентов в периоде t, t = 1,2,..., m;

n_t — продолжительность периода;

Пример 1.3. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год — ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Находим

Многие коммерческие банки России практикуют начисление и выплату процентов вкладчика ежеквартально или ежемесячно, причем начисление производится по постоянной или изменяющейся (растущей) процентной ставке. Для этого в контракте фиксируется одна или ряд годовых ставок, исходя из которых определяются размеры квартальных или месячных ставок. Годовые ставки в этом случае назовем номинальными.

Реинвестирование. В практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, т.е. к реинвестированию (rollover) полученных на каждом этапе наращения средств. Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае

S = (1 + n₁i₁)(l + n₂i₂)

где i_t — ставки, по которым производится реинвестирование.

Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то вместо этой формулы имеем:

S = P(1+ ni)^m,

Пример 1.4. 100 тыс. руб. положены 1 марта на месячный депозит под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется три раза? Если начислять точные проценты, то

тыс. руб.

Н ачисление обыкновенных процентов дает

тыс. руб.

1.4. Погашение задолженности частями

Необходимым условием финансовой или кредитной операции в любой ее форме является сбалансированность вложений и отдачи. Понятие сбалансированности удобно пояснить на графике.

Пусть ссуда в размере D₀ выдана на срок Т. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два платежа: R₁, и R₂, а в конце срока выплачивается остаток задолженности (balance) в сумме R₃ (рис 1.3а) (для нас здесь не имеет значения, какая часть этой суммы идет на выплату процентов, а какая на погашение долга). Очевидно, что на интервале t₁ задолженность возрастает (в силу начисления процентов) до величины D₁,. В конце этого периода в счет погашения задолженности выплачивается сумма R₁, долг уменьшается до K₁ и т.д. Заканчивается операция получением кредитором в окончательный расчет суммы R₃. В этот момент задолженность должна быть равна нулю.

Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур, иначе говоря, последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности. В этом случае совокупность платежей точно соответствует условиям сделки.

В этом случае надо решить вопрос о том, какую сумму надо брать за базу для расчета процентов и каким путем определять остаток задолженности. Существуют два метода решения этой задачи. Первый метод, который применяется в основном в операциях со сроком более года, называют актуарным (Actuarial Method). Второй метод назван правилом торговца (Merchant's Rule). Он обычно применяется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года.

Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Такое поступление приплюсовывается к следующему платежу. Для случая, показанного на рис. 1.3, получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности:

K₁ = D₀(1 + t₁i) - R₁; K₂ = K₁(1 + t₂i) - R₂; K₂(l + t₃i) - R₃ = 0.

Нетрудно понять, что актуарный метод в известной мере нарушает принцип начисления простых процентов, так как проценты начисляются не на первоначальную сумму долга, а на остаток задолженности, который в ряде случаев может частично содержать ранее начисленные проценты. Такая ситуация, разумеется, не возникает тогда, когда на каждом этапе выплачиваются только проценты.

Иной подход предусматривается правилом торговца. Здесь возможны два варианта.

Если срок ссуды не превышает год, то сумма долга с начисленными за весь срок процентами остается неизменной до полного погашения. Параллельно идет накопление частичных платежей с начисленными на них до конца срока процентами. Последний взнос должен сбалансировать долг и платежи.

В случае когда срок превышает год, указанные выше расчеты делаются для годового периода задолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году. Алгоритм можно записать следующим образом:

(1.5)

где S — остаток долга на конец срока или года;

D — наращенная сумма долга;

K — наращенная сумма платежей;

r_j — сумма частичного платежа;

п — общий срок ссуды;

t_j — интервал времени от момента платежа до конца срока ссуды или года.

Графическое изображение такой операции охватывает два как бы параллельных контура (рис. 1.5). Второй относится к промежуточному платежу.

Заметим, что для одних и тех же данных актуарный метод и правило торговца в общем случае дают разные результаты. Результат первого метода немного выше, чем второго.

Пример 1.5. Имеется обязательство погасить за 1,5 года (с 12 марта 1994 г. по 12 сентября 1995 г.) долг в сумме 15 млн. руб. Кредитор согласен получать частичные платежи. Проценты начисляются по ставке 20% годовых. Частичные поступления характеризуются следующими данными (в тыс. руб.):

12 июня 1994 г. — 500;
12 июня 1995 г. — 5000;
30 июня 1995 г. — 8000;
12 сентября 1995 г. — ?

Решение представим в последовательной записи:

12 марта 1994 г.	долг
12 июня 1994 г.	долг с процентами
Поступление	500	-500

Поскольку поступившая сумма меньше начисленных процентов (750), то она присоединяется к следующему платежу.

12 июня 1995 г.	Долг с процентами	18750
Поступления	500 + 5000
Остаток долга
30 июня 1995 г.	Долг с процентами	13382,5
Поступление	8000
Остаток долга
12 сентября 1995 г.	Долг с процентами	5594,5

Пример 1.6. Обязательство, датированное 10 августа 1994 г., должно быть погашено 10 июня 1995 г. Ссуда (1,5 млн. руб.) выдана под 20% годовых. В счет погашения долга 10 декабря 1994 г. поступило 800 тыс. руб. Остаток долга на конец срока согласно формуле (1.5)

млн. руб.

При применении актуарного метода получим

млн. руб.