Вопрос 14.Понятие несобственного интеграла.

А) Несобственный интеграл - интеграл от неограниченной функции или от функции по неограниченному множеству. Пусть функция f определена на конечном или бесконечном полуинтервале , это обобщение классического понятия интеграла на случай неограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежутке интегрирования

Б) -решение несобственного интеграла.

1.Что значит вычислить несобственный интеграл? Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (то есть, получить в итоге бесконечность вместо числа).

2. Несобственный интеграл может быть отрицательным.

15. Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных.

Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

КОШИ ТЕОРЕМА

- теорема об обращении в нуль интеграла от аналитической функции, взятого вдоль замкнутого контура.

17. Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида

Если ряд сходится, то предел от аn=0.

Свойства сходящихся числовых рядов:1)Если сходится числовой ряд , то сходящимся будет и ряд . Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся. 2) Если сходится числовой ряд и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд , причем , где A – произвольная постоянная. 3) Если сходятся числовые ряды и , их суммы равны A и B соответственно, то сходящимися будут ряды и , причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда существует такое число q , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера то ряд расходится.

18. Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида: . множество значений «икс», при котором степенной ряд будет сходится, это и называется областью сходимости степенного ряда. Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости: .

19. Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки альфа . Формальный ряд называется рядом Тейлора функции F в точке альфа . Если функция f(x) в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням (x-a) , то это разложение единственно и задается формулой: тейлора а частный случай формулы тейлора называется формулой макларена.

20. Вопрос 20.Дискретное пространство элементарных событий: сумма и произведение событий, достоверное и невозможное события, противоположное событие, несовместные события.

А)Пространство элементарных событий — множество   всех различных исходов случайного эксперимента.

Элемент этого множества   называется элементарным событием или исходом. Пространство элементарных событий называется дискретным, если число его элементов конечно или счётно. 

Б) элементарные события — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Множество всех элементарных событий обычно обозначается  .

В) сумма и произведение событий

Событие С называется суммой событий  А и В ( С = А   В ), если событие С происходит тогда и только тогда, когда происходит либо А , либо  В.

 

Событие С называется произведением событий  А и В ( С = А   В ), если событие С происходит тогда и только тогда, когда происходит и  А , и  В.

 

Событие С называется разностью событий  А и В ( С = А – В ), если событие С происходит тогда и только тогда, когда происходитсобытие  А , и не происходит событие В.

Г) достоверное и невозможное события

Достоверным событием называется всё пространство элементарных событий. Таким образом, достоверное событие – это событие, которое обязательно должно произойти в результате данного опыта. При бросании игральной кости таким событием является её падение на одну из граней.

 

Невозможным событием (  ) называется пустое подмножество пространства элементарных событий. То есть, невозможное событие не может произойти в результате данного опыта. Так, при бросании игральной кости невозможным событием является её падение на ребро.

 

Д) противоположное событие

Событие  А'  называется противоположным событию  А , если не произошло событие А. Так, промах и попадание при стрельбе – противоположные события.

Е)несовместные события

События  А и В называются  несовместными ( А   В =   ) , если их одновременное появление невозможно. Например, выпадение и "решки", и "орла" при бросании монеты.

21. Вопрос 21.Классическое определение вероятности. Выборки.

А)Вероятность — числовая характеристика степени возможности появления какого-либо события в тех или иных условиях.

Б)Классическое определение вероятности

Вероятностью события   называется отношение числа исходов  , благоприятствующих его наступлению к числу всех исходов   (несовместных, единственно возможных и равновозможных):  .

Будем различать достоверные и невозможные события. По определению, их вероятности соответственно равны 1 и 0. 

В)Выборка (Выборочная совокупность) Часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение обо всей генеральной совокупности. Для того чтобы заключение, полученное путем изучения выборки, можно было распространить на всю генеральную совокупность, выборка должна обладать свойством репрезентативности. 

Зависимые и независимые выборки

Если можно установить гомоморфную пару (то есть, когда одному случаю из выборки X соответствует один и только один случай из выборки Y и наоборот) для каждого случая в двух выборках (и это основание взаимосвязи является важным для измеряемого на выборках признака), такие выборки называются зависимыми. Примеры зависимых выборок:

В случае, если такая взаимосвязь между выборками отсутствует, то эти выборки считаются независимыми

Г)Типы выборок Выборки делятся на два типа: - вероятностные - выборка, воспроизводящая закон распределения признака в генеральной совокупности. - невероятностные - отбор в такой выборке осуществляется не по принципам случайности, а по субъективным критериям – доступности, типичности, равного представительства и т.д.

22. Вопрос 22. Теорема о сумме вероятностей, ее следствие.

 А)Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

 Следствие 1: Если события  образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Б)Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. 

            Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

            Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

23. Вопрос 23.Условная вероятность. Независимость событий. Теорема о произведении вероятностей.

А)Условная вероятность — это вероятность некоторого события A, при условии наступления некоторого другого события B; записывается P(A|B) и читается «вероятность A при условии B», или «вероятность A при данном B».

Совместная вероятность двух событий — это вероятность их пересечения. Совместная вероятность A и Bзаписывается   или 

Б)Независимость событий

В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют независимыми, если значение одной из них не влияет на вероятность значений другой.

В)Теорема о произведении вероятностей.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B).

Теорема. Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий, т.е.

P(ABC....LM) = P(A)×P(B/A)×P(C/AB) P(M/AB...L).

24. Вопрос 24.Формулы полной вероятности и Байеса.

А)Формула полной вероятности.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий  , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Б) формула Байеса

Пусть   — полная группа событий, и   — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие  , если в результате эксперимента наблюдалось событие  , может быть вычислена по формуле:

25. Вопрос 25.Дискретная случайная величина, ее основные характеристики.

А) Дискретная случайная величина

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Дискретная случайная величина принимает конечное (или счетное) число возможных значений - x_i (где i = 1.. n или i = 1 .. ∞) с определенными вероятностями.

Пример: игральные кости. Выпадаемый номер - случайная величина, которая может принимать одно из возможных значений - 1, 2, 3, 4, 5 или 6 с равной вероятностью*.

Б)Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го.

Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.

26. Вопрос 26.Функция распределения случайной величины, ее свойства.