
- •1 Вопрос.Множества, операции над множествами, их свойства.
- •2 Вопрос. Векторы, действия с векторами. Понятие линейной независимости системы векторов.
- •Вопрос 3. Понятие матрицы, виды матриц. Операции над матрицами.
- •Вопрос 4. Определители 2, 3 и n-го порядков, их свойства. Разложение определителя по строке.
- •Вопрос 5. Обратная матрица, способы ее нахождения.
- •Вопрос 6. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •Вопрос 7. Системы линейных уравнений, их матричная форма записи. Методы решения.
- •Вопрос 8.Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
- •Вопрос 9. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •Вопрос 10.Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая).
- •Вопрос 11.Определение и свойства неопределённого интеграла.
- •Вопрос 12.Формула интегрирования по частям.
- •Вопрос 13. Понятие (формула Ньютона-Лейбница) и свойства определённого интеграла.
- •Вопрос 14.Понятие несобственного интеграла.
- •А)Закон распределения дискретной случайной величины
Вопрос 5. Обратная матрица, способы ее нахождения.
А)Обра́тная
ма́трица —
такая матрица A−1,
при умножении на которую, исходная
матрица A даёт
в результате единичную
матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.
Б)Способы нахождения обратной матрицы -
1.Сначала найдем определитель |A|
2,Находим матрицу миноров, путем вычеркивания столбца и строчки.
3.
Находим
матрицу алгебраических дополнений
.(Поменять
знаки у нескольких чисел) (по диагонали
у 2х2 матрицы, и ромбиком у 3Х3.
4.Дальше по формуле.
Вопрос 6. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
А)Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов.
Ранг матрицы А обозначается через r(A).
Б) Элементарные преобразования
Элементарными называются следующие преобразования матрицы:
1) перестановка двух любых строк (или столбцов),
2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.
В)Нахождение ранга матрицы
Найти ранг матрицы
А=
и привести ее к каноническому виду.
Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:
.
Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:
;
из третьей строки вычтем первую; получим матрицу
В
=
,
которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:
.
Проще говоря. Надо с помощью вышеуказанных преобразований, надо сделать так чтобы остались только нули и однёрки, и количество однерок и будет рангом матрицы.
Вопрос 7. Системы линейных уравнений, их матричная форма записи. Методы решения.
А)Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида
|
Б)Матричный способ записи.
,
при методе Крамера.
при
методе Гаусса
В)Методы решения систем линейных уравнений
– Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»). – Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы. – Решение системы по формулам Крамера. – Решение системы с помощью обратной матрицы. – Решение системы методом Гаусса.