Ранги вершин. Правильная нумерация вершин.

Рангом R(j) называется максимальное число дуг пути, соединяющих начальную вершину с j-й. ранги всегда определены, если граф направленный, в противном случае этого может и не быть.

Алгоритм, позволяющий найти ранги вершин: 1) каждой вершине в порядке введеннной нумерации присваиваем ранг=0: R⁽⁰⁾(j)=0, 2) R^(k)(j)=max{R^(k-1)(i)+1}, где i непосредственно предшествует k. Алгоритм заканчивает работу, когда R^(k)(j)= R^(k-1)(j)=R(j). если у графа мало дуг, то ранги можно находить геометрически.

Чтобы правильно проставить нумерацию, нужно каждой вершине присвоить номер в порядке возрастания ранга. Нумерация называется правильной, если для любой дуги графа номер начала меньше номера конца.

Д вудольные графы, признак двудольности.

V1 из опреления вытекает, что вершины,

принадлежащие одной доле, не могут

быть смежными.

V2

2 1 3 5 эти графы изоморфны

1 3 название К_3,3

6 4

5 2 4 6

Т еорема о достаточном и необходимом условии двудольности: Теорема: граф двудолен тогда и только тогда, когда любой простой цикл этого графа имеет четную длину. Доказательство: дан двудольный граф, доказать, что простые циклы его имеют четную длину. Если граф не имеет циклов, то доказательство очевидно. Пусть граф имеет цикл. Возьмем какую-нибудь его вершину, лежащую на цикле. Очевидно, вершина а принадлежит либоV1, либо V2.

V1 если мы от вершины а по ребру придем во множество V1, то пройдем нечетное число ребер, а чтобы из вершины а

V2 снова вернуться во множество V2, a мы должны пройти четное число ребер, а поэтому, проходя от вершины а через ребра снова в вершину а, мы получим цикл четной длины. Пусть все циклы графа имеют четную длину. Покажем, что он двудольный. Если граф связный, то разобьем его на компоненты связности и докажем для одной компоненты и распространим доказательство на весь граф. Разобьем всё множество вершин графа на два подмножества V1 и V2. Таких, что для точки а, лежащей на цикле, расстояние до верхнего множества V1 четно, а расстояние до множества V2 нечетно.- (определение двудольного графа).

Покажем, что вершины множеств v1 и V2 между собой не могут быть смежными. Предположим a,b,cV1. Тогда растояние от вершины а до b имеет четную длину. Добавим ребро bc и путь от с к а будет четным, получаем цикл нечетной длины, что противоречит условию. Аналогично доказывается и для множества V2.

Разделяющие вершины и мосты. Теорема о разделяющей вершине. Алгоритм отыскания.

Пусть имеется неор-граф. Вершину зовут разделяющей, если ее удаление увеличивает число компонент графа; ребро, обладающее этим свойством, зовут мостом. Как правило, вершины, инцидентные мосту, являются разделяющими за исключением, если одна из вершин ребра является концевой. Теорема: вершина V графа является разделяющей, если существуют такие две вершины, что любая цепь, их соединяющая, проходит через вершину V

G V

V1 V2

Доказательство: удалим из графа G вершину V: G-V и рассмотрим граф G-V. В этом графе вершины V1 и V2 не связаны между собой, т.к. любая цепь, их связывающая, проходит через вершину V. А это говорит о том, что граф G-V не связный, т.е. удалив вершину V, мы увеличим по крайней мере на 2 число компонент связности графа. Следствие: если существует простая цепь, проходящая через все смежные вершиные с U вершины и не проходящая через U, то вершина U не является разделяющей. Заметим, что разделяющей вершиной не может являться висячая и транзитивная (степень 2) вершина, лежащая на простом цикле. Аналочичную теорему можно сформулировать и для моста: Ребро Е связного графа G является мостом, если существуют также две вершины графа V1 и V2, что любая простая цепь, их соединяющая, проходит через ребро Е. Очевидно, мост не может лежать на простом цикле.

Рассмотрим алгоритм нахождения разделяющих вершин:

8 7 6 1) отсекаем вершины, которые не могут быть

разделяющими: 4,3,8. 2-3-9-7-6 – вычерк. 2,

9-8-7-6-2-3 – вычеркиваем 9,

9 7-8-9-3-2-6 – вычерк. 7, 1,6,5-? Если не

5 удастся отсечь все вершины, то включаем их в

сомнительные.

2) исследуем сомнительные вершины:

1 2 3 4 удаляем каждую сомнительную вершину и проверяем оставшийся подграф на связность. Если он связный, то вершина не является разделяющей. В противном случае вершина будет разделяющей и мы найдем компоненты связности. 1,5 – очевидно разделяющие. Удаляем 6: G-6 – не связный. {2,3,7,8,9} и {1,5,4}.