Теорема о выделении из всякого замкнутого маршрута (пути) нечетной длины простого цикла (контура) нечетной длины.

Т еорема: из всякого замкнутого маршрута (пути) нечетной длины можно выделить простой цикл (контур) нечетной длины. Доказательство: пуст дан граф: 1

1 2-3-4-5-2-5-1-2. Расположим вершины

5 2 замкнутого контура по кругу:

1-2-3-4-5-1. Если все вершины различны,

4 3 то простой цикл (контур) построен.

Пусть теперь некоторые вершины повторяются:

1-2-3-4-5-2-5-1. возьмем вершину, которая повторяется хоты бы два раза – 2. Очевидно, путь от первого вхождения вершины до второго вхождения замкнутый, и от второго в первое тоже замкнутый. Т.к. весь путь нечетной длины, то из двух полученных циклов (второй – 5-2-5) один обязательно нечетной длины. Выбросим цикл четной длины и проведем аналогичное рассуждение к оставленному циклу нечетной длины. Этот процесс обязательно закончится, т.к. на каждом шаге длина пути уменьшается по крайней мере на 2.

Нахождение числа маршрутов (путей) через матрицу смежности.

Пусть А- матрица смежности n- вершинного графа. А=(a_ij)_n, A^l- l-я степень матрицы А. A^l=(a^l_ij). Теорема: элементы матрицы A^l дают число путей (маршрутов) длины l из i-й вершины в j-ю. Доказательство: о бозначим число различных путей из i-й вершины в k-ю через a_ik. Длина этих i путей- 1. Тогда общее число путей из i-ой вершины в j-ю длины 2, проходящих j m через k-ю вершину, есть . k произведение. Если мы просуммируем по всем вершинам k, то получим число всех путей длины 2 из i-й вершины в j-ю. А по определению матриц это есть АА. (i=1 to n)a_ika_kj=AA=A²=(a²_ij). Если мы возьмем некоторую вершину m, тогда чтобы найти число путей из i-й вершины в m-ю длины 3, которые проходят через j-ю вершину, нужно найти произведение a²_ija_jm. Если просуммируем по всем j, то получим общее число путей из i-й вершины в m-ю. (j=1 to n) a²_ija_jm=A²A=A³=a³_ij. и т.д. Очевидно, если при каком-нибудь значении l получим А^l=0, то это будет означать, что и более высокие степени матрицы=0, т.е. в графе не будет циклов(контуров). Если в графе нет циклов, то А^l дает число простых путей(маршрутов) графа между i-й и j-й вершинами.

Необходимое и достаточное условие существования контура ор-графа.

Теорема: для того, чтобы n-вершинный ор-граф имел хотя бы один контур, необходимо и достаточно, чтобы матрица K=A²+ A³+ A⁴+…+ Aⁿ (1) имела хотя бы один элемент на диагонали >0 (k_ij>0). Доказательство: пусть хотя бы при одном i элемент матрицы k>0 (k_ij>0). Это означает, что в силу условия (1) найдется такое 2<=l<=n, что a_ii>0, т.е. имеется путь из i-ой вершины в i-ую, значит, имеется и элементарный контур из i-ой вершины в i-ую. Обратно: если найдется элемент a^(l)_ij>0 в матрице A^l, то это будет означать, что существует контур длины l, значит, из него можно выделить простой контур, длина которого не превосходит числа вершин, а тогда 2<=l<=n, следовательно, элемент a^(l)_ij>0К, т.е. на диагонали матрицы К элемент k_ii>0.