36. Элементарные логические функции

1. Одной переменной при х=0 и х=1

0 0 константа нуля

0 1 аргумент х

1 0 инверсия х

1 1 константа единицы

2. Двух переменных

При х1=0 0 1 1

Х2=0 1 0 1

Константа нуля 0 0 0 0

Конъюнкция 0 0 0 1

Запрет по х2 0 0 1 0

Аргумент х1 0 0 1 1

Запрет по х1 0 1 0 0

Аргумент х2 0 1 0 1

Логическая неравнозначность 0 1 1 0

Дизъюнкция 0 1 1 1

Стрелка Пирса 1 0 0 0

Логическая равнозначность 1 0 0 1

Инверсия х2 1 0 1 0

Импликация х2-х1 1 0 1 1

Инверсия х1 1 1 0 0

Импликация х1-х2 1 1 0 1

Штрих Шеффера 1 1 1 0

Константа единицы 1 1 1 1

37 Логические элементы

«и» «или» «не» «и-не» «или-не»

38 Отношение эквивалентности переменных

1. Рефлексивность х=х

2. Симметричность х=у, у=х

3. Транзитивность х=у, у=z следовательно х=z

Не не х=х

x or 0=x

x or 1=1

x or не x=1

x and 0=0

x and 1=x

x and не x=0

Законы

1. Коммутативный x or y=y or x, x and y=y and x

2. Ассоциативный x or (y or z)=(x or y) or z, x and (y and z)=(x and y) and z

3. Дистрибутивный x or (y and z)=(x or y) and (x or z), x and (y or z)=(x and y) or (x and z)

4. Закон Де Моргана не(x or y)=не x and не y, не(x and y)=не x or не y

5. Поглощение x or (x and y)=x, x and (x or y)=x

6. Идемпотентность x or x or … or x=x, x and x and … and x=x

7. Правило склеивания (x and не y) or (x and y)=x, (x or не y) and (x or y)=x

39 Конъюнктивная нормальная форма логической функции – это конъюнкция элементарных дизъюнкций. Элементарная дизъюнкция – это дизъюнкция неповторяющихся переменных или их инверсий.

40 Дизъюнктивная нормальная форма логической функции – это дизъюнкция элементарных конъюнкций. Элементарная конъюнкция – это конъюнкция неповторяющихся переменных или их инверсий.

41 Совершенные нормальные формы

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма – это дизъюнкция конституент 1. Конституент 1 – это элементарная конъюнкция, которая содержит все переменные логической функции и обращается в единицу на единственном наборе переменных

Совершенная конъюнктивная нормальная форма – это конъюнкция конституент 0. Конституент 0 – это элементарная дизъюнкция, которая содержит все переменные логической функции и обращается в ноль на единственном наборе переменных

42 Функционально-полные системы логических функций

Пять замечательных классов логических функций

1. Сохраняющие нуль. На нулевом наборе принимают значение нуля

2. Сохраняющие единицу. На единичном наборе принимают значение единицы

3. Линейные

4. Монотонные. При любом возрастании набора аргументов функция не убывает

5. Самодвойственные. На противоположных наборах принимают противоположные значения

Теорема о функциональной полноте

Для того, чтобы система логических функций обладала функциональной полнотой необходимо и достаточно, чтобы она включала в себя:

1. Хотя бы одну функцию, несохраняющую 0

2. Хотя бы одну функцию, несохраняющую 1

3. Хотя бы одну нелинейную функцию

4. Хотя бы одну немонотонную функцию

5. Хотя бы одну несамодвойственную функцию

43 Порядок минимизации ЛФ. Минимизация методом непосредственных преобразований.

Упрощение производится за счет применения основных законов и аксиом алгебры-логики

44 минимизация ЛФ м.Квайна.

Сводится к выполнению операций склеивания и поглощения для получения сокращенных форм, затем из сокращенных форм методом импликантных матриц получаются тупиковые формы и из них выбирается минимальная.

45 минимизация ЛФ с помощью карт Карно

За счёт склеивания конституент 1(0), которые оказываются в соседних клетках по горизонтали или вертикали. Соседними также являются крайние конституенты, лежащие в одном столбце или строке

46 Минимизация неполностью определенных логических функций

Неполностью определенная функция – это функция, значения которой на некоторых наборах аргументов могут быть произвольными

При минимизации НОФ условные наборы доопределяются до 1 и следовательно включаются в СДНФ. Далее выполняются все операции склеивания и поглощения. Однако при составлении импликантной матрицы конституенты 1, соответствующие условным наборам не включаются.

47 Минимизация совокупности ЛФ

48 Синтез комбинационных схем в основном базисе. Комбинационной схемой(логической схемой) конечным автоматом без памяти называется устройство реализованное на логических элементах в котором значение выходного сигнала в любой момент времени полностью определен значениями входных сигналов в тот же момент времени.

Построение комбинационной схемы производится по логическому выражению функции реализуется выходной сигнал. Наиболее комбинационные схемы реализованы в основном базисе. Для такой реализации логическая функция должна быть представлена в дизъюнктивной или конъюнктивной формах.

Т.к. при построении КС желательно использовать минимальное количество элементов, то обычно реализовывается произв. По МДНФ или МКНФ.

Основные этапы синтеза:

1. Формирование словестного задания.

2. Составление таблицы истинности.

3. Запись логической функции в СДНФ или СКНФ.

4. Выбор ФПС логических элементов для реализации функции.

5. Минимизация логической функции.

6. Построение комбинационной схемы по минимизированной логической функции.

7. Проверка правильности комбинационной схемы.