37.Частные производные

38.Двойной интеграл

39.Экстремумы функции нескольких переменных.

Необходимое условие и достаточное условие.

Максимумом (строгим) функции f (x, y) называется такое значение f(x₁, y₁) этой функции, которое больше всех ее значений f(x, y), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности точки О(х₁, у₁). (Окрестность может быть весьма малой по своим линейным размерам).

Минимумом (строгим) функции f (x, y) называется такое значение f (x₂,y₂), которое меньше всех ее значений f (x,y), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности О (х₂, у₂).

(Необходимый признак экстремума функции нескольких переменных). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная первого порядка либо равна нулю, либо не существует.

 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u = f (x, y) и f (x_o, y_o) - ее максимум (для минимума рассуждения аналогичны). Зафиксируем одну из переменных, например, у, полагая у = у_о, тогда получим функцию одной переменной U₁ = f (x, y_o), которая, очевидно, будет иметь максимум при х = х_о. Отсюда, на основании теории экстремума одной переменной, получаем, что или не существует.

Пусть теперь у=у_о, а х_о- фиксируем, тогда или не существует.

 С л е д с т в и е. В точке экстремума М_о (х_о, у_о) дифференцируемой функции f (x, y) выполнены равенства

Для U = f(x, y, z) в точке М_о (х_{о ,}у_о, z_о) будет выполнено условие .

 З а м е ч а н и е. Точку, в которой частные производные первого порядка либо не существуют, либо равны нулю, называют критической.

Т.е. экстремумы функции нескольких переменных могут достигаться лишь в критических точках.