1. Комплексным числом называется выражение вида x + iy, x и y – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. x-вещественная часть,iy-мнимая.
Z1+Z2=(X1+X2,Y1+Y2),Z1-Z2=(X1-X2,Y1-Y2)
Z1*Z2=(X1*X2-Y1*Y2,X1*Y2-X2*Y1)
_
Z1=x+iy ,Z2=x-iy – комплексно сопряженное к числу Z1
_ _
Z1/Z2=(Z1*Z2)/(Z2*Z2)
Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).
Модуль
комплексного числа
обозначается
и
обозначается буквой
.
Для
пары комплексных чисел
и
модуль
их разности
равен
расстоянию между соответствующими
точками комплексной плоскости.
Угол
(в
радианах) радиус-вектора
точки, соответствующей числу
,
называется аргументом
числа
и
обозначается
.Из
этого определения следует, что
;
;
.
Если
вещественную
и
мнимую
части
комплексного числа выразить через
модуль
и
аргумент
(
,
),
то всякое комплексное число
,
кроме нуля, можно записать в
тригонометрической
форме
Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:
где
—
расширение экспоненты для случая
комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
2.Множество-набор элементов а.
А эквивалентно В если в силу некоторого правила каждому элементы множества А можно сопоставить единственный элемент множества В и наоборот, существует взаимнооднозначное соответствие.
Соотношение а и в
Множество называется конечным если n принадлежит N.
Множество называется счетным если A эквивалентно N, несчетным R(не конечным).
Функция – это зависимость одной переменной величины от
другой. Каждому элементу множества по определенному правилу мы ставим в соответствие элемент множества . Множество X называется областью определения функции. Множество Y – областью значений.
Способы задания функции:
Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.
Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.
Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.
Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.
Графический способ. Он является самым наглядным. На графике сразу видно все – возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума. В следующей статье будет рассказано об исследовании функции с помощью графика. Параметрический способ задания функций и линий на плоскости, при котором координаты х и у рассматриваются как функции третьей переменной — параметра t:
Основные элементарные функции
Степенная
функция
Показательная
функция
,
где
,
и
Логарифмическая
функция
,
где
,
и
Тригонометрическая
функция
3. Последовательность — это набор элементов некоторого множества/
Предел последовательности- Число a называется пределом последовательности x1, x2 , … , x n, … , если для любого ε > 0 существует такой номер N, что для всех Xn с номерами n>N справедливо неравенство |xn − a| < ε. В этом случае пишут
|
|
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.
Последовательность
называется ограниченной
сверху, если
существует такое число U,
что
для любых номеров n.
При этом число U
называется верхней границей
последовательности.
Последовательность
называется ограниченной
снизу, если
существует такое число L,
что
для любых номеров n.
Число L
называется нижней границей
последовательности.
Последовательность
называется ограниченной,
если существуют такие числа L
и U,
что
для всех n
= 1,2,3,…
Последовательность называется бесконечно малой если предел равен 0. Бесконечно большой если равен бесконечности.
Возрастная, если Xn+1>Xn и наоборот убывающей.
Свойства пределов
1.Если предел существует то он один
2.Монотонная ограниченная последовательность не предел
3.Если существует предел
lim Xn = a lim Yn = b
n → ∞ n → ∞
то 1. Lim(Xn+Yn)= limXn + limYn=a+b
2. lim(Xn*Yn)=a*b
3. lim(Xn/Yn)=a/b
4.Предел функции-
5.Замечательные пределы:
Первый замечательный предел:
Из геометрических соображений имеем SOAС< SOAC < SOBC. Используя формулы площадей рассматриваемых фигур, получим
или
sin x < x < tg x
Разделив все части неравенства на sin x > 0, получим при условии х > 0
,
или
.
Так как функция у = cos x непрерывна, то
.
Пользуясь теоремой о пределе промежуточной функции, получим окончательно
.