37.Теорема Ролля(дов.),Коші,Лангранжа.Формули Тейлора,Маклорена.Правило Лопіталля

Теорема 17.2 (Теорема Ролля).Пусть:

1. Функция   непрерывна на отрезке  :  ;

2. Для любого x из интервала   существует производная:  ;

3. Значения функции на концах отрезка равны:  .

Тогда существует такое  , что производная  .

Доказательство

1. Функция непрерывна   существуют  .

2. Если  , то функция   является константой, и ее производная в любой точке равна 0, т.е. теорема доказана.

3. Если же  , то оба значения   не могут достигаться в концевых точках, т.к.   и  . Тогда хотя бы одно из них достигается во внутренней точке c, и, по теореме Ферма 17.1   

Теорема (Теорема Ферма).Если функция   имеет производную и в точке   имеет экстремум, то значение производной в этой точке равно 0.

Теорема Коши .

Теорема. (Коши об отношении приращения двух функций) Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g ' (x) ≠ 0 на (a, b).

Тогда существует число c (a,b) такое, что 

Теорема Лагранжа

Теорема. Пусть функция     дифференцируема в открытом промежутке     и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка   , что

Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора: где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Правило Лопіталя:

Теорема 1. Нехай функції визначені і диференційовні в околі точки х₀, за винятком, можливо, самої точки х₀, причому

Вважатимемо, що х₀ – скінчене число: . Довизначемо функції в точці х=х₀, поклавши Тоді ці функції будуть неперервні в точці х₀. розглянемо відрізок [x₀;x], що належить даному околу. Функції і неперервні на [x₀;x], диференційовні на (х₀, х) і .

Тому за теоремою Коші знайдеться точка , для якої або

тому, що . Оскільки за умовою існує , якщо , то з рівності маємо:

38. Дослідження функцій