26.Парабола

27. Поняття числової послідовності

Числова послідовність  — послідовність дійсних чисел, в якій кожному натуральному числу n ставиться у відповідність дійсне число  . Число   називають елементом або членом послідовності.

Границя числової послідовності — число, до якого члени послідовності прямують зі збільшенням індекса в сенсі наступного означення:

Дійсне число a називається границею числової послідовності  , якщо 

Позначення:   або 

При цьому також кажуть, що послідовність   збігається до числа a, або має границю a. Послідовність, що збігається до деякої границі називається збіжною, в інших випадках — розбіжною.

Т. (про єдність): якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

Т. (про арифметичні дії),

Т. (про конвоїрів)

Т. (про обмеженість збіжної послідовності): збіжна послідовність обмежена.

Т. (про границю обмеженої монотонної послідовності – Вейєрштраса): монотонна обмежена послідовність має границю.

29. Функція. Область визначення і область значень функції.

Така залежність між змінними x та y, в якій кожному значенню змінної x із деякої множини D відповідає єдине значення змінної y, називається функціональною залежністю, або функцією.

Область визначення функції - це множина всіх значень змінної x, при яких функція має зміст.

Область значень функції (множина значень) - усі значення, яких набуває функція. Функція є парною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f(x)=f(-x) Функція є непарною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f(-x)=-f(x)

Періоди́чна фу́нкція ― функція, яка повтороює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргумента фіксованого ненульового числа (періоду).

Нехай дано функцію   Тоді функція   називається зроста́ючою на  , якщо

.

функція   називається стро́го зроста́ючою на  , як .

функція   називається спадною на  , якщо .

функція   називається стро́го спадною на  , якщо .

Елементарні функції та їх класифікація:Показникова функція ,Логарифмічна функція ,

Степенева функція ,Тригонометричні функції ,Обернені тригонометричні функції

30. Границя функції. Теореми про границі.

Число а називається границею функції, якщо 0

виконується

Теорема про арифметичні дії : якщо

1. 

2. 

3. 

4. 

Теорема (про єдиність): якщо

Теорема: якщо f в деякому околі т. ₀ і 0

Теорема: якщо в деякому околі т. ₀ виконується f

Теорема: якщо в деякому околі т. ₀ f і =a

31. Важливі границі

 

1) Перша важлива границя

Розглянемо функцію  . Значення цієї функції при   не існує, але  .

      (1)                                  

 

Границю (1) називають першою важливою (першою чудовою) границею.

Доведення. Нехай   (x вимірюється в радіанах).

 

Рис. 2.3

Розглянемо рис. 2.3, на якому позначено  ,  ,  ,  . Виходячи з геометричних міркувань матимемо:   ; ;   .

Оскільки  , то, поділивши останню нерівність на  , матимемо:

 або   .

 

Знайдемо  ,

.

Отже,

. 

У випадку   доведення проводиться аналогічно. Тут маємо:

.

 

Об’єднаємо отримані результати:

 Графік функції   має вигляд

2) Друга важлива границя

Функція   при   має границею число  , тобто (2)

  Границю (2) називають другою важливою (другою чудовою) границею.

(Зауважимо, що числом   прийнято позначати границю такої збіжної послідовності:  це число є ірраціональним )

Доведення. Розглянемо випадок, коли  . Нехай

 

.

 

Піднесемо члени отриманої нерівності до степенів, показники яких є частинами нерівності  . Дістанемо

 

.

 

Перейдемо до границі при  . Оскільки

 

,

,

 

то .Аналогічно доводиться справедливість рівності  .

Зауваження. Якщо  , то  . Поклавши    , матимемо іншу форму запису другої важливої границі

 

.  

Наслідки:

32. Порівняння нескінченно малих величин  Як випливає з визначення нескінченно малих величин, всі вони прагнуть до нуля, але швидкість цього прагнення може бути різна. Тому все нескінченно малі величини можна порівнювати між собою.  Нехай дано дві нескінченно малі величини   і   при   , Тобто   ,   .  Визначення 4.1. Функції   і   називаються нескінченно малими величинами одного порядку малості, якщо   .  Визначення 4.4. Функція   називається нескінченно малою величиною вищого порядку малості, ніж   , Якщо   .  Визначення 4.3. Функція   називається нескінченно малою величиною більш низького порядку малості, ніж   , Якщо   .  Той факт, що   , Наприклад, має вищий порядок малості, ніж   , Можна визначити таким чином:   .  Визначення 4.4. Функція   називається нескінченно малою величиною   го порядку малості щодо   , Якщо   .  Визначення 4.5. Функції   і   називаються непорівнянні нескінченно малими величинами, якщо   не існує і не дорівнює   .  Визначення 4.6. Дві нескінченно малі величини   і   називаються еквівалентними, якщо   .  Очевидно, що це окремий випадок нескінченно малих величин одного порядку малості. Еквівалентні величини позначаються наступним чином:   .  Поняття еквівалентності має практичне застосування. Якщо   , То це означає, що при достатньому наближенні   до   на підставі теореми 9.4.1 можна написати:   . Інакше кажучи,   або   .  Отриманий результат дозволяє слідства першого і другого чудових меж представити наступним чином:   ;   ;   ;   ;   ;  ,при   . 

Таблица эквивалентных бесконечно малых. Пусть - бесконечно малая при .