Кут між площинами.

Д вогранний кут між площинами дорівнює куту утвореному нормальними векторами цих площин.Двогранний кут між площинами дорівнює куту утвореними прямими l₁ і l₂, що лежать в відповідних площинах і перпендикулярні лінії перетину площин.

Якщо задані рівняння площин A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 і A₂x + ₂y + C₂z +D₂ =0,то кут між площинам,можназнайти,використавши,наступну,формулу

Cos α =	|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
	(A12 + B12 + C12)1/2(A22 + B22 + C22)1/2

Кут між двома площинами, які перетинаються, і дорівнює куту між її нормальними векторами і і обчислюється за формулою:

.

Щоб дві площини були паралельні, їх нормальні вектори і повинні бути колінеарні, тобто

Щоб площини були перпендикулярні, їх нормальні вектори і також повинні бути перпендикулярні, тобто: .

Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю рівняння називаєтся неповним. При   площина проходить через початок координат, при   (або  ,  ) чи  ) площина паралельна площині   (відповідно   чи  ).площина

23. Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью, условия параллельности прямой и плоскости, точка пересечения прямой и плоскости.

Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

  

Теорема. Пусть плоскость   задана общим уравнением       ,

а прямая L задана каноническими уравнениями

или параметрическими уравнениями     ,    ,

в которых   – координаты нормального вектора плоскости  ,   – координаты произвольной фиксированной точки прямой L,    – координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если  , то прямая L пересекает плоскость   в точке, координаты которой   можно найти из системы уравнений

              ;          

2) если   и  , то прямая лежит на плоскости;

3) если   и  , то прямая параллельна плоскости.

   Доказательство. Условие   говорит о том, что вектроры   и   не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальныеуравнения системы, находим координаты искомой точки.

   Если  , то это означает, что  . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости икоординаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка  . Если  , то точка   – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

  Если  , а  , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости. Теорема доказана.

25.