6.2. Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим произвольную систему частиц. Введем понятие момента импульса данной системы как векторную сумму моментов импульсов ее отдельных частиц:

,

(6.11)

где все векторы определены относительно одной и той же точки O выбранной инерциальной системы отсчета. Заметим, что момент импульса системы - величина аддитивная. Это означает, что момент импульса системы равен сумме моментов импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

Выясним, какая величина определяет изменение момента импульса системы. Для этого продифференцируем (6.11) по времени:

В предыдущем параграфе было показано, что производная   равна моменту всех сил, действующих на   частицу. Приравняем эту производную сумме моментов внутренних и внешних сил, т. е.  . Тогда

Здесь первая сумма - это суммарный момент всех внутренних сил относительно точки O, вторая сумма - суммарный момент всех внешних сил относительно той же точки O.

Покажем, что суммарный момент всех внутренних сил относительно любой точки равен нулю. По определению, внутренние силы - это силы взаимодействия между частицами данной системы. По третьему закону Ньютона, эти силы попарно одинаковы по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой, т. е. имеют одинаковое плечо. Поэтому моменты сил каждой пары взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. уравновешивают друг друга, и, значит, суммарный момент всех внутренних сил всегда равен нулю.

В результате последнее уравнение принимает вид

,

(6.12)

где   суммарный момент всех внешних сил.

Уравнение (6.12) утверждает: производная момента импульса системы по времени равна суммарному моменту всех внешних сил. Разумеется, оба момента,  и  , здесь определены относительно одной и той же точки O инерциальной системы отсчета.

Как и в случае одной частицы, из уравнения (6.12) следует, что приращение момента импульса системы за конечный промежуток времени

(6.13)

т. е. приращение момента импульса системы равно импульсу суммарного момента всех внешних сил за соответствующий промежуток времени. И здесь, конечно, оба момента,  и  , определены относительно одной и той же точки О выбранной системы отсчета.

Уравнения (6.12) и (6.13) справедливы в инерциальной системе отсчета. Для того, чтобы их можно было использовать и в неинерциальной системах отсчета нужно учитывать и действие сил инерции, играющих роль внешних сил, т. е. под   в этих уравнениях следует понимать сумму  , где суммарный момент внешних сил взаимодействия -  ,   - суммарный момент сил инерции относительно одной и той же точки О системы отсчета.

В итоге получен важный вывод: согласно уравнению (6.12), момент импульса системы может изменяться только под действием суммарного момента всех внешних сил. Отсюда непосредственно вытекает и другой важный вывод - закон сохранения момента импульса: в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, т.е, не меняется со временем. Причем это справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета.

Таким образом, в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц

При этом моменты импульса отдельных частей или частиц замкнутой системы могут изменяться со временем, что и подчеркнуто в последнем выражении. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение момента импульса одной части системы равно убыли момента импульса ее другой части (конечно, относительно одной и той же точки системы отсчета).

В этом смысле уравнения (6.12) и (6.13) можно рассматривать как более общую формулировку закона изменения момента импульса, формулировку, в которой указана и причина изменения момента импульса интересующей нас системы - действие других тел через момент внешних сил взаимодействия. Сказанное, разумеется, справедливо только по отношению к инерциальным системам отсчета.

Подчеркнем еще раз: закон сохранения момента импульса имеет место только по отношению к инерциальным системам отсчета. Однако это не исключает случаев, когда момент импульса системы сохраняется и в неинерциальных системах отсчета. Для этого достаточно, чтобы согласно уравнению (6.12) - а оно справедливо и в неинерциальных системах отсчета - суммарный момент всех внешних сил, включающий в себя и силы инерции, был равен нулю. Такие ситуации реализуются довольно редко и соответствующие случаи имеют весьма частный характер.

Закон сохранения момента импульса играет такую же важную роль, как и законы сохранения энергии и импульса. Уже сам по себе он позволяет сделать во многих случаях ряд существенных заключений о свойствах тех или иных процессов, совершенно не вникая в их детальное рассмотрение. Проиллюстрируем сказанное на таком демонстрационном примере.

Пример. Два одинаковых шара насажены на гладкий горизонтальный стержень, но которому они могут скользить (рис. 6.11). Шары сближают и соединяют нитью. Затем всю установку приводят во вращение вокруг вертикальной оси, предоставляют ее самой себе и пережигают нить. Шары, естественно, разлетаются к концам стержня. Угловая же скорость установки при этом резко уменьшается.

Наблюдаемый эффект является прямым следствием закона сохранения момента импульса, ибо данная установка ведет себя, по существу, как замкнутая, так как внешние силы компенсируют друг друга, ибо силы

Рис. 6.11. Демонстрационный опыт с шарами

трения в оси малы. Для количественной оценки изменения угловой скорости будем считать, что масса всей установки практически сосредоточена в шарах, а их размеры пренебрежимо малы. Тогда из равенства моментов импульса шаров относительно точки C в начальном и конечном состояниях системы   следует

Отсюда видно, что с увеличением расстояния   шаров от оси вращения угловая скорость установки уменьшается обратно пропорционально квадрату этого расстояния. И наоборот, если бы   уменьшалось под действием каких-либо внутренних сил, угловая скорость установки увеличивалась бы. Этот эффект имеет общий характер, и его широко используют спортсмены в своих выступлениях, например, фигуристы и гимнасты.

Обратим внимание на тот факт, что конечный результат совершенно не зависит от характера внутренних сил (в нашем примере - это силы трения между шарами и стержнем).

Особый интерес представляют случаи, когда момент импульса   сохраняется для незамкнутых систем, у которых, как известно, импульс   меняется со временем. Если относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета, суммарный момент внешних сил   в течение интересующего нас промежутка времени, то, согласно (6.12), момент импульса системы относительно точки O сохраняется за это время. В незамкнутых системах такой точки, вообще говоря, может и не быть, что следует прежде всего выяснить для каждой конкретной задачи.

Пример 1. Система Земля - Луна, движущаяся в ноле тяготения Солнца, является незамкнутой. Ее импульс все время меняется под действием сил тяготения. Здесь, однако, имеется одна точка, относительно которой момент сил тяготения, действующий на данную систему, все время равен нулю, - это центр Солнца. Поэтому можно сразу утверждать, что момент импульса системы Земля- Луна относительно центра Солнца остается постоянным.

Пример 2. На гладкой горизонтальной плоскости лежит стержень ОВ, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящий через его конец О (рис. 6.12). В конец В стержня попадает, застревая, шайба А, скользившая по плоскости, и далее вся система начинает вращаться как единое целое вокруг точки О. Ясно, что система

шайба - стержень незамкнутая: кроме сил уравновешивающих друг друга в вертикальном направлении со стороны оси в процессе удара будет

Рис. 6.12. Пример сохранения момента импульса в незамкнутой системе

действовать горизонтальная сила, а после того, как стержень начнет вращаться, возникает еще одна сила со стороны оси, благодаря которой центр инерции системы будет двигаться по окружности. Но обе силы проходят через точку О, а следовательно момент этих внешних сил относительно точки О все время ранен нулю. Отсюда вывод: момент импульса длиной системы будет оставаться постоянным относительно точки О.

В более ограниченном случае у незамкнутых систем может сохраняться не сам момент импульса  , а его проекция на некоторую неподвижную ось z. Это бывает тогда, когда проекция суммарного момента   всех внешних сил на эту ось z равна нулю. В самом деле, спроектировав уравнение (6.12) на ось z, получим

(6.15)

Здесь и  - момент импульса, и суммарный момент внешних сил относительно оси z:

(6.16)

где  и   - момент импульса и момент внешних сил относительно оси z для   частицы системы.

Из уравнения (6.15) следует, что если относительно некоторой неподвижной в данной системе отсчета оси z проекция   то момент импульса системы относительно этой оси сохраняется:

(6.17)

При этом сам вектор  , определенный относительно произвольной точки O на этой оси, может меняться. Например, если система движется в однородном поле тяжести, то суммарный момент всех сил тяжести относительно любой неподвижной точки О перпендикулярен вертикали, а значит, относительно любой вертикальной оси  и   чего нельзя сказать о векторе  .

До сих пор при выводе закона сохранения момента импульса мы опирались на справедливость законов Ньютона. А как обстоит дело в системах, не подчиняющихся этим законам, например в системах с электромагнитным излучением, в атомах, ядрах и др.?

Учитывая громадную роль, которую играет закон сохранения момента импульса в механике, в физике понятие момента импульса расширяют на немеханические системы, которые не подчиняются законам Ньютона, н постулируют закон сохранения момента импульса для всех физических процессов.

Такой расширенный закон сохранения момента импульса уже не является следствием законов Ньютона, а представляет собой самостоятельный общий принцип, являющийся обобщением опытных фактов. Наряду с законами сохранения энергии и импульса закон сохранения момента импульса является одним из важнейших фундаментальных законов природы.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением , где   — радиус-вектор, проведенный из точки O,   — импульс материальной точки. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси    равен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса    не зависит от положения точки O на оси z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что  , получим .

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса):  .

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело: .

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и при плоском движении.

Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек па которые это тело можно разбить:

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью  , то линейная скорость i-ой точки равна  , где  , - расстояние от этой точки до оси вращения. Следовательно.

(5.11)

где   - момент инерции тела относительно оси вращения.

Выведем уравнение для кинетической энергии твердого тела при плоском движении. Пусть тело совершает плоское движение в некоторой инерциальной K-системе отсчета. Чтобы найти его кинетическую энергию Т в этой системе, воспользуемся формулой (5.12). Входящая в эту формулу величина   в данном случае представляет собой кинетическую энергию вращения тела в С-системе вокруг оси, проходящей через центр масс тела. Согласно (6.31)  поэтому сразу можно записать

(6.35)

где   - момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр масс,   -угловая скорость тела, т - его масса,  - скорость центра инерции тела в K-системе отсчета

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из энергии вращения в С-системе и энергии, связанной с движением центра масс.

Момент инерции и его свойства. Теорема Штейнера.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движениивокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.