8. Расширенное поле Голуа. Неприводимые многочлены.

Расширенное поле Галуа GF (pⁿ) с бинарными операциями ⊕ , ⊗ по mod p, mod(M(x) : deg(M(x)) = n)

Элементами расширенного поля Галуа являются многочлены, коэффициенты которых являются элементами простого поля Галуа (элементы - числа). Для выполнения операций в конечном поле Галуа степени n необходимо использовать приведение по двойному модулю (modd p, f(x)). Для произведения операций над полем нужно задаться конкретным видом неприводимого многочлена, так как в зависимости от многочлена результаты умножения 2 элементов поля будут разными.

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. В кольце многочленов неприводимые многочлены играют роль сходную с простыми числами в кольце целых чисел.

Многочленом f(x) над конечным полем GF(q) степени m >= 0 называется сумма следующего вида f(x) = f₀ + f₁x+ … + f_mx^m, f_i є GF(q), f_m <> 0

степень полинома deg(f(x)).

Если f_m = 1, то полином называется нормированным.

Для двух полиномов f(x) и h(x) таких, что deg(f(x)) >= deg(h(x)), всегда найдутся полиномы t(x) и r(x) над полем GF(q), что будет выполнятся соотношение f(x) = t(x)h(x) + r(x).

Если степень r(x) строго меньше степени h(x), то такое соотношение называется представлением полинома f(x) в виде частного и остатка от деления f(x) на h(x). Причем, такое представление единственно. f(x) − r(x) делится без остатка на h(x), и записывается как f(x) = r(x) mod h(x).

Полином h(x) является сомножителем (или делителем) полинома f(x), если остаток r(x) от деления равен нулю. любой полином можно нормировать делением его на коэффициент f_m при старшей степени.

Полином является неприводимым над полем GF(q), если он среди своих делителей не имеет других полиномов.

10. Примитивные многочлены. Число неприводимых и примитивных многочленов.

Многочлен называется примитивным, если все его корни явл-ся примитивными первообразными элементами поля GF(p в ст n)

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. В кольце многочленов неприводимые многочлены играют роль сходную с простыми числами в кольце целых чисел.

Многочленом f(x) над конечным полем GF(q) степени m >= 0 называется сумма следующего вида f(x) = f₀ + f₁x+ … + f_mx^m, f_i є GF(q), f_m <> 0

Число m >= 0 называется степенью полинома и обозначается как deg(f(x)).

Если f_m = 1, то полином называется нормированным.

Сумма и произведение полиномов определены обычном образом, а операции с коэффициентами происходят как операции в поле GF(q).

Для двух полиномов f(x) и h(x) таких, что deg(f(x)) >= deg(h(x)), всегда найдутся полиномы t(x) и r(x) над полем GF(q), что будет выполнятся соотношение f(x) = t(x)h(x) + r(x).

Если степень r(x) строго меньше степени h(x), то такое соотношение называется представлением полинома f(x) в виде частного и остатка от деления f(x) на h(x). Причем, такое представление единственно. Ясно, что f(x) − r(x) делится без остатка на h(x), что записывается как f(x) = r(x) mod h(x).

Полином h(x) является сомножителем (или делителем) полинома f(x), если остаток r(x) от деления равен нулю. Ясно, что полином можно разделить на любой ненулевой скаляр из поля GF(q). Поэтому любой полином можно нормировать делением его на коэффициент f_m при старшей степени.

Полином является неприводимым над полем GF(q), если он среди своих делителей не имеет других полиномов.

Число неприводимых полиномов степени n для поля GF(p)

Ф(p)=(Σ(k,n) µ(k)•p^(n-k))/n

µ(a) – функция Мебиуса

µ(a) = 1, a = 1

0, k_i >= 2

-1, число сомножителей нечетное

1, число сомножителей четное

Теорема: Всегда существуют неприводимые многочлены степени не меньшей 4 в виде пентонов.