25. Эллиптическая кривая над расширенным полем.

Mod p

GF(

b 0

1. P Q

2. P=Q

P(X;Y)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
x	x			x+1

10	11	12	13	14	15
					1

y	0	x

Вместо 0 x будем записывать только степени

y	1	2	3	4	5	6	7
	1	4	6	8	10	12	14

8	9	10	11	12	13	14	15
1	3	5	7	9	11	13	0

1)Перая точка x=0 y=1 (0;1)

5 степень 10 степень= + =1=> новые точки (1; ) и (1; )

2)подставляем x в x

= +yx

(x; ) (x; )

3)подставляем в x

=

_{вместо у подставляем х+1 и еще подходит (} )

_{подходит =>}

_{( ) и ( )}

3)Вместо х подставляем , а в у все значения и ищем которые подойдут

( ) ( )

В итоге получаются точки

(0;1)-8p

(1; )-4p (1; )-12p

( )-p ( )-15p

_{( )-2p ( )-14p}

( )-11p ( )-5p

( )-3p ( )-13p

_{-6p -10p}

_{-9p -7p}

_{Вычисления p+3p}

_{( )}

_{Новая точка (1;} )-4p

7. Циклические группы, подгруппы. Теоремы об элементах групп.

Группой называется множество элементов (конечное или бесконечное), на котором задана операция умножения , которая удовлетворяет следующим четырём аксиомам: Замкнутость группы относительно операции умножения. Для любых двух элементов группы существует третий, который является их произведением: Ассоциативность операции умножения. Порядок выполнения умножения несущественен: Существование единичного элемента. В группе существует некоторый элемент E, произведение которого с любым элементом A группы даёт тот же самый элемент A: Существование обратного элемента. Для любого элемента A группы существует такой элемент A-1, что их произведение даёт единичный элемент E: Группы, для которых произведение не зависит от порядка сомножителей, называют коммутативными или абелевыми группами. Для абелевой группы  , иначе группа называется неабелевой: Группа(G,*) называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a. Математическое обозначение:G=<a>. Все циклические группы абелевы. Примеры Группа корней из единицы степени n по умножению. Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F группой Галуа которого будет G. Если некоторое подмножество множества N, являющегося группой, само образует группу, то такое подмножество называется подгруппой. У любой группы G имеется 2 тривиальные подгруппы: H=E и H=G. Если порядок некоторой конечной группы G равняется некоторому натуральному числу n, то группа G содержит несколько подгрупп порядков  d, где d является делителем n. Например: S3={e, (12), (13), (23), (123), (132)} H1={e}; H2={e, (12)}; H2={e, (13)}; H2={e, (23)}; H3={e, (123), (132)} Теорема 1: Если элемент a принадлежит группе G, и a^k=e, тогда k – период а. Порядок группы n – мощность множества, образующего группу. k обязательно является делителем n.

Теорема 2: Количество элементов поля (группы) с заданным периодом k равно количеству чисел, взаимно простых с k.

Теорема 3: Для любого элемента a группы G выполняется условие, что если (а^(p-1)) mod p =1, то число p – простое. Если период k элемента а равен  р-1, то такой элемент называют примитивным (первообразным)

6.Конечные группы. Группа подстановок.

Конечная группа содержит конечное число элементов (это число называется её порядком). Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1.

Примеры

1)Аддитивная группа   классов вычетов по модулю n.

2)Мультипликативная группа корней n-й степени из единицы, изоморфная предыдущей группе.

3)Приведённая система вычетов по модулю m, порядок которой равен φ(m) (функция Эйлера).

4)Некоммутативная группа из 8 кватернионных единиц: .

5)Симметрическая группа (группа подстановок) S_n, её порядок равен n! и при n > 2 она некоммутативна.

6)Четверная группа Клейна.

Свойства и связанные определения

Порядок элемента g конечной группы G — минимальное натуральное число m такое, что g^m = 1. Порядок определён для каждого элемента конечной группы; порядок единичного элемента считается равным нулю.

Теорема Лагранжа: порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

Следствие 1: порядок любого элемента конечной группы — делитель порядок группы.

Следствие 2: любой элемент g конечной группы порядка n удовлетворяет соотношению:

gⁿ = 1