1. Поле, конечное поле. Основные определения.

Поле(Р) – множество элементов с 2-мя операциями, к-ые удовлетворяют аксиомам:

1)замкнутости (a, b Є М. с=а+b или с=а*b ,где с ЄМ)

2)наличие единичного элемента (е) (а=а+е или а=а*е, е принадлежит М)

3)наличие обратного элемента (а^-1 +а=е или а^-1 *а=е). обратный элемент слева или справа (т.к. операция некоммутативна)

4)ассоциативность: а+(b+c)=(a+b)+c или а*(b*c)=(a*b)*c

5)сочетательный(дистрибутивный или распределительный) закон: а*(b+c)= аb+аc или (а+b)c=ac+bc

6)коммутативность: a+b=b+a, ab=ba

Примеры поля: множества рациональных-R, вещественных-Q, комплексных чисел-C.

Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.

Обычно обозначается GF(p), где p — число элементов поля. Простое поле Галуа GF(p) = {S , ⊕ , ⊗} с бинарными операциями ⊕, ⊗.

Простейшим примером конечного поля является Z_p=GF(p)=F_p –множество целых чисел по mod p , где p – простое

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

*	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

GF(5)={0,1,2,3,4}. Выполнение всех аксиом операций над элементами поля можно проверить с помощью таблиц Келли (таблица умножение и сложения)

2^-1=3, 3^-1=2

2. Метод шифрования rsa.

1. Выбрать простые числа p и q

2. Вычислить n = p * q

3. Вычислить функцию эйлера m = (p - 1) * (q - 1)

4. Выбрать число e взаимно простое с m

5. Выбрать число d так, чтобы e * d (mod m)= 1, d=e^-1

Числа e и d являются ключами. Шифруемые данные необходимо разбить на блоки - числа от 0 до n - 1.

* Шифрование: b = a^e (mod n)

* Дешифровка: a = b^d (mod n)

Следует также отметить, что ключи e и d равноправны, т.е. сообщение можно шифровать как ключом e, так и ключом d, при этом расшифровка должна быть произведена с помощью другого ключа.

Генерация ключей:

1)p = 7, q = 11

2)n = p•q = 7•11 = 77

3)функция эйлера m = (p-1)(q-1) = 60

4)выбрать открытый показатель е = 17

5)вычислить секретный показатель d = 53

6)опубликовать открытый ключ (e, n) = (17,77)

7)сохранить секретный ключ (d, n) = (53,77)

Ш:1.Выбрать открытый текст a = 24

2.Вычислить шифротекст b = a^e mod n = 24¹⁷ mod 77 = 40

Р:Вычислить исходное сообщение a = b^d mod n = 40⁵³ mod 77 = 24