17)Понятие открытого, закрытого множеств, области на r, предельной точки множества. Примеры.
Определение 1:
Множество Е
называется
открытым,
если все его точки являются внутренними,
то есть если оно не содержит своих
граничных точек.
Определение
2:
Множество
Е называется
замкнутым,
если оно содержит все свои предельные(граничные
точки) точки.
,
Если Е=
,
то такое множество называется замкнутым.
Определение 1. Пусть X— непустое подмножество множества R. Точка a R называется предельной точкой множества X, если в любой окрестности Ua точки a найдётся, по крайней мере, одна, не совпадающая с a, точка множества X.
Лемма 1. Для того чтобы a R была предельной точкой непустого множества X R, необходимо и достаточно, чтобы в каждой окрестности этой точки содержалось бесконечное подмножество множества X.
Теорема 1. Для того чтобы точка a R была предельной точкой множества X R, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность{xn} элементов множества X, отличных от a, сходящаяся к a.
Теорема 2. Всякое бесконечное множество действительных чисел имеет по крайней мере одну предельную точку.
ε=(a-ε,a)
)
проколотая окрестность точки а.
.
Область множества обладает свойствами:
1)Произвольная система замкнутых множеств в пересечении дает замкнутое множество;
2)Произвольная конечная система замкнутых множеств в объединении дает замкнутое множество.
Пример:
1)Если X = (0, 1), то любая точка a [0, 1] является предельной точкой множества множества X.
2) Если X = N, то предельной точкой множества X является только +∞.Как видно из примеров, предельная точка множества может как принадлежать, так и не принадлежать ему.
*** Дополне́ние в теории множеств — это совокупность элементов, не принадлежащих данному множеству.
Определение: Множество Х является подмножеством Y, если любой элемент множества Х принадлежит множеству Y. Это еще называется нестрогим включением.
Способы задания множеств:
1. путем перечисления его элементов. Обычно перечислением задают конечные множества.
2. путем описания свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества. Это свойство называетсяхарактеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием. Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества. Если мы задаем множество каким-либо свойством, потом может оказаться, что этим свойством обладает всего лишь один объект или вообще такого объекта нет. Данный факт может быть совсем не очевиден.
18)Теорема о равносильности 2-ч определений предела функции. Замечания.
Определение
1. (определение по Коши или на языке 
):
—
предел функции 
в
точке 
(и
пишут 
,
если: 
В
определении допускается, что 
,
то есть 
может
не принадлежать области
определения функции.
Определение
2. (определение по Гейне):
называется
пределом функции 
в
точке 
,
если 
, 
то
есть 
,
соответствующая последовательность
значений 
, то
есть 
.
Эквивалентность определений
Пусть
число 
является
пределом функции 
в
точке 
по
Коши. Выберем произвольную
подходящую последовательность 
, 
,
то есть такую, для которой 
.
Покажем, что 
является
пределом по Гейне.
Зададим
произвольное 
и
укажем для него такое 
,
что для всех 
из
условия 
следует
неравенство 
.
В силу того, что 
,
для 
найдётся
такой номер 
,
что 
будет
выполняться неравенство 
,
то есть 
.
Докажем
теперь обратное утверждение: предположим,
что 
по
Гейне, и покажем, что число 
является
пределом функции 
в
точке 
по
Коши. Предположим, что это неверно, то
есть:
.
В качестве 
рассмотрим 
,
а соответствующие значения 
будем
обозначать 
.
Тогда при любом 
выполняются
условия 
и 
.
Отсюда следует, что последовательность 
является
подходящей, но число 
не
является пределом функции 
в
точке 
.
Получили противоречие.
Замечание 1. Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке два разные предела.
Замечание 2. Понятие предела функции в точке есть локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.
Замечание
3.
Данную запись в определении можно
сформулировать иначе: точка 
принадлежит
проколотой 
-окрестности
точки 
(
).