Билеты. Высшая математика.

1)Свойства действительных чисел.

⊂

N – множество натуральных чисел (1,2,…,+∞)

Z – множество целых чисел (-∞,+∞)

Q – множество рациональных чисел () , qZ, pZ

R – множество действительных (вещественных) чисел; множество всевозможных, бесконечных десятичных дробей

Вещественные числа, не являющиеся рациональными, называют иррациональными.

①

• 

• ab , bc ac (транзитивное свойство знака)

• существует m, такое что (аксиома Архимеда)

② a+b комутативная группа по сложению

• Комутативность: a+b=b+a

• Ассоциативность: a+(b+c)=a+b+c

• Наличие нейтрального члена: a+0=0+a=a

• Наличие противоположного члена: a+b=1; b=-a

• 

③a*b комутативная группа по умножению

• Комутативность: a*b=b*a

• Ассоциативность: a*(b*c)=a*b*c

• Наличие нейтрального члена: a*1=1*a=a

• Наличие противоположного члена: a*b=1; b=1/a

• 

④

⑤

• R – плотное множество. Между любыми двумя различными числами a и b существует бесконечное множество действительных чисел.

• Множество R непрерывно(теорема Дедекинда)

Пусть A и B — два непустых множества в R таких, что ∀a ∈ A ∀b ∈ B a ≤ b, т. е. любой элемент A не больше любого элемента B. Тогда ∃c ∈ R | ∀a ∈ A ∀b ∈ B a ≤ c ≤ b, т.е. найдется хотя бы одно число, разделяющее A и B

2)Свойства абсолютной величины действительного числа

Абсолютной величиной (модулем) действительного числа х (обозначается │х│) называется неотрицательное действительное число, удовлетворяющее условиям:

Свойства:

1)Абсолютная величина алгебраической суммы нескольких действительных чисел не больше абсолютных величин слагаемых:

│a+b│≤│a│+│b│

2)Абсолютная величина разности не меньше разности абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого:

│a-b│≥│a│-│b│ (│a+b│≥│a│-│b│)

3) │ab│≤│a││b│

4) │a/b│≤│a│/│b│

Докозательство: сложим почленно неравенства и

и получаем │a+b│≤│a│+│b│; если заменить b на –b то получим│a-b│≤│a│+│b│

3)Ограниченные множества и их границы. Понятие счетного и несчетного множества. Примеры.

Если каждому числу п натурального ряда чисел 1,2,... n, ... ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x_n то множество занумерованных вещественных чисел x₁,x₁,...,x_n,… мы и будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью.

Определение 1. Последовательность {х_n} называется ограниченной сверху (с н и з у), если существует такое вещественное число М (число га), что каждый элемент х_n последовательности {х_n} удовлетворяет неравенству х_n ≤М (х_n ≥m).

При этом число М (число m) называется верхней гранью (нижней гранью) последовательности {x_n}, а неравенство X_n ≤ М (х_n ≥m) называется условием ограниченности последовательности сверху (снизу). Любая ограниченная сверху последовательность {х_n} имеет бесчисленное множество верхних граней. Если М — верхняя грань, то любое число М*, большее М, также является верхней гранью.

Определение 2. Последовательность {х_n} называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т. е. если существуют числа m и М такие, что любой элемент хп этой последовательности удовлетворяет неравенствам: m≤х_n ≤М.

Наименьшая верхняя граница называется также точной верхней границей A, верхней гранью A или супремумом A и обозначается sup A. Наибольшая нижняя граница называется также точной нижней границей A, нижней гранью A или инфимумом A и обозначается inf A

Последовательность {х_n} называется неограниченной, если для любого положительного числа А найдется элемент х_n этой последовательности, удовлетворяющий неравенству │х_n│ > А.

Рассмотрим несколько примеров:

1)Последовательность —1, —4, —9, ... , n², ... ограничена сверху и не ограничена снизу. Верхней гранью этой последовательности является любое число, не меньшее — 1.

2)Последовательность 1, 1/2, 1/3, ... , 1/n, ... ограничена. Действительно, верхней гранью этой последовательности является любое число М ≥1, а нижней гранью — любое число m≤0.

Говорят, что между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества A соответствует один и только один элемент множества B и каждому элементу множества B соответствует некоторый элемент множества A. В этом случае говорят также, что множества A и B изоморфны .

Два множества A и B называются эквивалентными, или равномощными, если между этими множествами может быть установлено взаимно однозначное соответствие и говорят, что множества A и B имеют равные мощности.

Множество A называется конечным, если оно эквивалентно J_n при некотором n, где J_n=1, 2, …, n – множество n первых натуральных чисел. Множества, которые не являются конечными, называются бесконечными. Если некоторое множество A равномощно множеству натуральных чисел N, т.е. AN, то множество A называется счетным. Счетное множество A – это такое множество, все элементы которого могут быть занумерованы в бесконечную последовательность a₁, a₂, …, a_n, …, так, чтобы при этом каждый элемент получил лишь один номер n и каждое натуральное число n было бы номером лишь одного элемента множества A.

Множество А [0,1] несчетное множество ; множество Q счетное множество