Переход к другому базису
Перейти от одного базиса системы к другому позволяет преобразование однократного замещения: вместо одной из основных переменных в базис вводят одну из свободных переменных. Для этого в столбце свободной переменной выбирают ключевой элемент и выполняют преобразования по указанному выше алгоритму, начиная с п. 2.
Нахождение опорных решений
Опорным решением системы линейных уравнений называется базисное решение, не содержащее отрицательных компонент.
Опорные решения системы находят методом Гаусса при выполнении следующих условий.
1. В
исходной системе все свободные члены
должны быть неотрицательны: 
.
2. В число базисных может быть введена только та переменная, в столбце коэффициентов при которой есть хотя бы один положительный элемент.
3. Если при переменной, вводимой в базис, имеются положительные коэффициенты в нескольких уравнениях, то переменная вводится в базис в то уравнение, которому соответствует наименьшее в столбце отношение свободных членов к этим положительным коэффициентам.
Замечание
1. Если
в процессе исключения неизвестных
появится уравнение, в котором все
коэффициенты неположительны,
а свободный член 
,
то система не имеет неотрицательных
решений.
Замечание 2. Если в столбцах коэффициентов при свободных переменных нет ни одного положительного элемента, то переход к новому опорному решению невозможен.
12.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений |
Формулы Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений не имеют серьезного практического применения, так как связаны с громоздкими выкладками. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных по следующей схеме.Для того чтобы решить систему уравнений
Рассмотрим метод Гаусса на примерах. Пример 14. Установить совместность и решить систему
Решение. Выпишем
расширенную матрицу системы и поменяем
местами первую и вторую строки для
того, чтобы элемент
Имеем
Выпишем
систему уравнений, расширенную матрицу
которой мы получили в результате
преобразований:
Итак,
имеем |
выписывают
расширенную матрицу этой системы 
и
над строками этой матрицы производят
элементарные преобразования, приводя
ее к виду, когда ниже главной диагонали,
содержащей элементы 
будут
располагаться нули. Разрешается: 1)
изменять порядок строк матрицы, что
соответствует изменению порядка
уравнений; 2) умножать строки на любые
отличные от нуля числа, что соответствует
умножению соответствующих уравнений
на эти числа; 3) прибавлять к любой
строке матрицы другую, умноженную на
отличное от нуля число, что соответствует
прибавлению к одному уравнению системы
другого, умноженного на число. С помощью
этих преобразований каждый раз
получается расширенная матрица новой
системы, равносильной исходной, т. е.
такой системы, решение которой совпадает
с решением исходной системы.
равнялся
единице (так удобнее производить
преобразования матрицы).
.
Ранги
матрицы системы и ее расширенной
матрицы совпали с числом неизвестных.
Согласно теореме Кронекера-Капелли
система уравнений совместна и решение
ее единственно.
Далее,
подставляя 
в
третье уравнение, найдем 
Подставляя 
и 
во
второе уравнение, получим 
и,
наконец, подставляя в первое уравнение
найденные 
получим 
Таким
образом, имеем решение системы 
Векторная алгебра