3.1 Горизонтальная асимптота
Пусть lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x +)
хотя в принципе, может иметь и такой вид
3.2 Вертикальная асимптота(рис.4)
Пусть при x a 0 lim f (x) = . Тогда говорят, что прямая x = a является
х
вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + или .
Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид
.
Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения
3.3 Наклонная асимптота
Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b - f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b - f (x) стремится к 0 при х
lim [f (x) - (ax + b)] = 0.
x
Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина
Но тогда мы имеем
и так как последний предел равен нулю, то
Зная а, можно найти и b из исходного соотношения
Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.
Пример
то есть асимптота при x + имеет уравнение y=x.
Аналогично можно показать, что при x - асимптота имеет вид y = - x.
20. Построение графика квадратичной функции по направлению ветвей, характерным точкам и оси симметрии параболы Примеры:
|
y = x2 - 4x + 3
|
|
y= -x2 - 6x - 9
|
|
22.Формула Тейлора
|
формула
изображающая функцию f (x), имеющую n-ю производную f (n)(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х—а, и остаточного члена Rn (x), являющегося в окрестности точки а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) n [то есть Rn (x) = an (x)(x—a) n, где an (x) ® 0 при х ® а]. Если в интервале между а и х существует (n + 1)-я производная, то Rn (x)можно представить в видах:
где x и x1 — какие-то точки указанного интервала (остаточный член Т. ф. в формах Лагранжа и соответственно Коши). График многочлена, входящего в Т. ф.. имеет в точке а соприкосновение не ниже n-го порядка с графиком функции f (x). Т. ф. применяют для исследования функций и для приближённых вычислений. |
,