Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора   на вектор   называется вектор, обозначаемый символом   и определяемый следующими тремя условиями:

1). Модуль вектора   равен  , где   - угол между векторами   и  ;

2). Вектор   перпендикулярен к каждому из вектора   и  ;

3). Направление вектора   соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы  ,   и   приведены к общему началу, то вектор   должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору  ), а указательный - по второму (то есть по вектору  ).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

.

Модуль векторного произведения   равен площади S параллелограмма, построенного на векторах   и  :

.

Само векторное произведение может быть выражено формулой

,

где   - орт векторного произведения.

Векторное произведение   обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы   и   коллинеарны. В частности,  .

Если система координатных осей правая и векторы   и   заданы в этой системе своими координатами:

,  ,

то векторное произведение вектора   на вектор   определяется формулой

,

или

.

6.

Смешанное произведение векторов

Определение

Смешанным произведением трех векторов  ,  ,   называется число, равное скалярному произведению вектора   на вектор : 

Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов  правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах:  . В случае левой тройки  смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус:  . Если  ,   и   компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах  ,   и   равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Свойства смешанного произведения:

1°    

2°    

3°    Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда 

4°    Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда  . Если же  , то векторы  ,   и   образуют левую тройку векторов.

5°    

6°    

7°    

8°    

9°    

10°    Тождество Якоби: 

Если векторы  ,   и   заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах  ,  , 

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишемкоординаты векторов  ,   и  :

*1.Предел функции в точке.

Пусть функция f(x)определена на множестве X = {x}, имеющем точку сгущения (предельную точку) a. Запись

обозначает, что для любого числа ε > 0 cуществует число δ = δ (ε) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 < |x - a| < δ, справедливо неравенство:

|f(x )- A |< ε.

Имеют место два замечательных предела:

1)

2)

Критерий Коши:

Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется такое δ = δ (ε) >0, что

|f(x' ) - f(x" )| < ε,

как только 0 < |x' - a| < δ и 0 < |x' - a| < δ, где x' и x" - любые точки из области определения функции f(x).

*2) Вычисление пределов функций основано на применении следующих основных теорем:

ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций , то есть

ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть

и равен плюс (минус) бесконечности, если предел знаменателя 0, а предел числителя конечен и отличен от нуля.

 

ТЕОРЕМА 4. Первый замечательный предел равен

ТЕОРЕМА 5. Второй замечательный предел равен