Упражнения 2

1. Используя дифференциальную формулу (4) (Глава 2) получить полиномы Чебышева-Эрмита для n=0,1,2,3,4.

2. Используя рекуррентные формулы (7) и (8) (Глава 2) найти полиномы Чебышева-Эрмита для n=0,1...7.

3. Используя рекуррентную формулу для коэффициентов (11) (Глава 2) найти полиномы Чебышева-Эрмита для n=0,1...4.

4. Получить функции Чебышева-Эрмита для n=0,1,2 и найти их норму.

5. Используя дифференциальную формулу получить полиномы Чебышева-Лагерра для n=0,1,2,3.

6. Используя рекуррентные формулы найти полиномы Чебышева-Лагерра для n=0,1...4.

7. Получить уравнение Чебышева-Лагерра при использовании дифференциальной формулы для этих полиномов.

8. Используя дифференциальную формулу получить обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра для n=0,1,2.

9. Найти рекуррентные формулы для обобщенных полиномов Чебышева-Лагерра.

10. Используя рекуррентные формулы найти обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра для n=0,1,2.

11. Получить уравнение для обобщенных полиномов Чебышева- Лагерра используя рекуррентные формулы.

12. Получить функции для обобщенных полиномов Чебышева-Лагерра для n=0,1,2 и найти их норму.

13. Найти соотношения определяющие частоты серий Лаймана, Бальмера и Пашена.

14. Найти среднее значение радиуса первой орбиты электрона.

15. Найти наиболее вероятное значение радиуса первой орбиты электрона.

16. Показать ортогональность радиальных функций соответствующих n=0 и n=1.

17. Найти нормировочный множитель А_п в формуле (38).

Глава III. Цилиндрические функции

§1. Цилиндрические функции

При решении многих задач математической физики приходят к обыкновенному дифференциальному уравнению

, (1)

или

,

называемому уравнением цилиндрических функций п-го порядка. Это уравнение часто называют также уравнением Бесселя n-го порядка.

Характерными задачами, приводящими к цилиндрическим функциям, являются краевые задачи для уравнения

(2)

вне или внутри круга (вне или внутри цилиндра в случае трех независимых переменных). Введя полярные координаты, преобразуем уравнение (2) к виду

. (3)

Полагая U = R(r)Ф(φ) и разделяя в (3) переменные, получаем:

умножим на

,

,

.

Условие периодичности для дает λ=n², где n-целое число.

,

.

Полагая затем , приходим к уравнению цилиндрических функций

,

,

,

,

,

или

, где .

В случае решений волнового уравнения (2), обладающих радиальной (цилиндрической) симметрией, мы получим уравнение Бесселя нулевого порядка

.

1.1. Степенные ряды

Уравнение Бесселя v-го порядка

(1)

или

(2)

(ν – произвольное действительное или комплексное число, действительная часть которого не отрицательна). Решение уравнения Бесселя имеет особую точку при x=0. Поэтому решение у(х) следует искать в виде степенного ряда

(3)

начинающегося с х^σ, где σ – характеристический показатель, подлежащий определению. Подставляя ряд (3) в уравнение (2) и приравнивая нулю коэффициенты при х^σ, х^σ+1, ..., х^σ+k, получаем уравнение для определения σ и систему уравнений для определения коэффициентов а_k:

,

,

(4)

(5)

Так как мы можем предположить, что , то из первого уравнения (5) следует, что

, или . (6)

Перепишем k-е уравнение (5) (k > 1) в виде

. (7)

Тогда из второго уравнения (5), в силу (6), будем иметь

,

,

. (8)

Уравнение (7) дает рекуррентную формулу для определения а_k через а_k-2

. (9)

Отсюда и из (8) заключаем, что все нечетные коэффициенты равны нулю. Если v вещественно, то при решение обращается в бесконечность в точке х=0.

Остановимся на случае . Из (9) следует, что каждый четный коэффициент может быть выражен через предыдущий:

, (10)

,

.

Последовательное применение этой формулы позволяет найти выражение а_2m через а₀:

. (11)

Воспользуемся свойством гамма-функции Г(s)

,

,

.

Коэффициент a₀ до сих пор оставался произвольным. Если v -п, где п > 0 - целое число, то, полагая

(12)

и используя отмеченное выше свойство гамма-функций, получаем

. (13)

Если же , v п, где п > 0 — целое число, то, полагая

, (12′)

будем иметь:

. (14)

Ряд (3), соответствующий ≥ 0, с коэффициентами (12) и (13)

(15)

называется функцией Бесселя 1-го рода v-го порядка. Ряд

, (16)

соответствующий , представляет второе решение уравнения (1), линейно независимое от J_ν(x). Ряды (15) и (16), очевидно, сходятся на всей плоскости х.

Рассмотрим теперь тот случай, когда v равно половине целого числа. Пусть ν² = (n + 1/2)² , где п ≥ 0 — целое число. Полагая в формулах (5) σ=ν=п+1/2, получаем

,

(k>1),

так что

,

.

Последовательно применяя эту формулу, находим:

.

Полагая здесь v = n + 1/2 , получаем формулу (11). Положив далее

,

получим формулу (13). Пусть тогда уравнения (5) для а_k принимают вид

,

………………

………………

.

По-прежнему все коэффициенты , но для a_2n+1 получаем уравнение , которое удовлетворяется при любом значении a_2n+1. При к>п коэффициент a_2n+1 определяется равенством

.

Полагая

a_2n+1=0,

,

получаем формулу (14). Таким образом, при v=±(n+1/2) не требуется никакого изменения в определении функции J_ν(x). Формулы (15) и (16) остаются в силе.

Отметим, что формула (16) определяет J_-ν(x) лишь для нецелых значений ν, поскольку определение a₀ по формуле (12) при целых отрицательных v=-п лишено смысла. Продолжим по непрерывности (16) на целые значения v=п. Поскольку для , суммирование в (16) фактически начинается со значений k=k₀+1=n. Изменяя в (16) индекс суммирования , получаем:

,

,

так как суммирование начинается с k' = 0.

Выпишем в качестве примера ряды для функций Бесселя 1-го рода нулевого (n = 0) и 1-го (n = 1) порядков:

Функции J_n(x) и J_-n(x) (n — целое число), как мы видели, линейно зависимы:

.

Для нецелых значений v функции J_v(x) и J-_ν(x) линейно независимы. В самом деле, J_v(x) имеет нуль, a J-_ν(x) — полюс v-го порядка в точке х = 0. Таким образом, если v — нецелое число, то всякое решение y_v(x) уравнения Бесселя (1) может быть представлено в виде линейной комбинации функций J_v(x) и J_-v(x):

.

Если ищется ограниченное решение уравнения (1), то и

при Re ν > 0.