1.4. Формула повної ймовірності. Формула Байєса

Якщо подія А може настати тільки з однією з подій які утворюють повну групу попарно несумісних подій, то ймовірність події А обчислюється за формулою повної ймовірності

, (1.14)

де – ймовірність гіпотези

 – умовна ймовірність події А при цій гіпотезі,

З формулою повної ймовірності тісно пов’язана формула Байєса.

(1.15)

де .

Формула Байєса дозволяє переоцінити ймовірності гіпотез, прийнятих до випробування за результатами уже проведеного випробування.

Приклад 1.13. Вивчаються результати екзамену з математики у трьох групах. У першій групі 25 студентів, з них 7 отримали “відмінно”, у другій – 26 студентів, з них 9 отримали “відмінно”, а в третій відповідно – 24 і 10. Яка ймовірність, що навмання вибраний студент отримав на екзамені відмінну оцінку?

Розв’язання. Нехай А – навмання вибраний студент на екзамені з математики отримав відмінну оцінку. Це може статися, коли студента вибрано з 1-ї групи (відбулась подія ), або з 2-ї групи ( ), або з 3-ї групи За означенням ймовірності

Використаємо формулу повної ймовірності

За умовою задачі звідси маємо

Приклад 1.14. Перша бригада виготовила 80 виробів, друга – 120. У першій бригаді 2 % виробів браковані, а в другій – 5 %. Деталі надходять на спільний конвеєр. Навмання узятий з конвеєра виріб виявився бракованим. Яка ймовірність, що він виготовлений першою бригадою?

Розв’язання. Позначимо події – вибраний виріб виготовлений і-ю бригадою,

А – вибраний виріб бракований

За формулою Байєса одержимо:

Питання для самоконтролю

1. Записати формулу повної ймовірності.

2. Записати формулу Байєса. Для чого служить ця формула?

Вправи

1. Є дві партії виробів з 12 і 10 штук, причому в кожній партії один виріб бракований. Виріб, узятий навмання з першої партії, перекладено в другу, після чого вибирається навмання виріб із другої партії. Визначити ймовірність дістати бракований виріб з другої партії.

2. У кошик, що містить 3 кулі, опущена чорна куля. Яка ймовірність того, що з кошика буде витягнута чорна куля, якщо всі припущення про початковий склад куль за кольором рівноможливі?

3. З партії, що складається з 4 виробів, навмання взяли один виріб, який виявився небракованим. Кількість бракованих виробів рівноможлива будь-яка. Яка гіпотеза про кількість бракованих виробів найбільш вірогідна?

4. Перший і другий заводи поставляють порівну однакових деталей, але перший виробляє 90 % стандартних деталей, а другий – 85 %. Навмання взята деталь стандартна. Яка ймовірність, що вона виготовлена першим заводом?

5. З урни, яка містить 3 білі та чорні кульки, перекладено дві кульки до урни, яка містить 4 білі та 4 чорні кульки. Яка ймовірність того, що з другої урни після такого перекладення буде взято білу кульку?

6. У двох корзинах баскетбольні та волейбольні м’ячі, причому у першій – 8 баскетбольних і 2 волейбольні, у другій – 6 баскетбольних і 3 волейбольні. З навмання вибраної корзини взяли м’яч. Яка ймовірність того, що:

а) взяли волейбольний м’яч;

б) м’яч, який виявився баскетбольним, взяли з першої корзини?

7. Два стрільці незалежно один від одного роблять по одному пострілу по мішені. Ймовірність влучення першого – 0,8, другого – 0,4. Відомо, що є одне влучення. Знайти ймовірність того, що в мішень влучив перший стрілець.

8. Серед n екзаменаційних білетів m “щасливих”. Студенти підходять за білетами один за одним. У кого більша ймовірність взяти “щасливий” білет: у того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшов другим?

9. У першому ящику десять стандартних і дві браковані деталі, у другому відповідно – 12 і 3, у третьому – 14 і 1. З навмання вибраного ящика взяли деталь. Яка ймовірність того, що:

а) взяли стандартну деталь;

б) деталь, яка виявилось бракованою, взяли з 3-го ящика?

10. Є дві партії виробів: перша партія складається з 12 виробів, серед яких 2 браковані; друга – з 16 виробів, серед яких 3 браковані. З першої партії навмання береться 5 виробів, а з другої – 4 вироби. Ці 9 виробів перемішують. З нової партії береться навмання один виріб. Знайти ймовірність того, що:

а) виріб є дефектним;

б) виріб, який виявися якісним, був з першої партії.

11. До крамниці надходить товарна продукція лише трьох заводів. Обсяги продукції першого, другого та третього заводів відповідно відносяться 2:5:3. Частка браку на першому заводі 2 %, на другому – 5 %, на третьому – 4 %. Яка ймовірність того, що:

а) куплений у крамниці товар виявився бракованим;

б) куплений товар, який виявився якісним, виготовили на другому заводі?

12. Імовірність того, що на контроль надходить дефектний виріб, дорівнює 0,11. Контролер бракує дефектний виріб з ймовірністю 0,9, помилково бракує стандартний виріб з ймовірністю 0,1. Знайти ймовірність того, що:

а) виріб забраковано;

б) виріб, який забракували, виявився якісним.

13. Кількість вантажівок на трасі – 20 %, а легкових автомобілів – 80 %. Ймовірність того, що вантажівка зайде на АЗС, дорівнює 0,4, а легкова – 0,5. До АЗС заїхала машина. Яка ймовірність того, що це легкова машина?