3.10.4. Перевірка гіпотези про порівняння середнього значення ознаки генеральної сукупності зі стандартом

У критеріях для перевірки гіпотези про те, що значення математичного сподівання досліджуваної ознаки генеральної сукупності збігається зі стандартом використовують статистику – вибіркове середнє. Розрізняють такі моделі залежно від інформації щодо генеральної сукупності, якою ми володіємо.

Модель А. Гіпотеза про значення математичного сподівання нормального закону розподілу за умови відомої дисперсії.

Припустимо, що випадкова величина розподілена нормально з невідомим математичним сподіванням але відомою дисперсією Потрібно на підставі вибірки перевірити нульову гіпотезу про рівність математичного сподівання певному числу При цьому припускаємо, що відомі такі величини: дані вибірки обсягу середнє квадратичне відхилення гіпотетичне значення математичного сподівання рівень значущості

Тоді випливає, що вибіркове середнє для вибірки з нормального розподілу з параметрами має нормальний розподіл із параметрами , тому за умови істинності гіпотези (коли ) випадкова величина

яку беруть за критерій перевірки гіпотези , також розподілена нормально з параметрами

Справді,

Отже, щільність розподілу випадкової величини має вигляд:

Тому

Якщо конкуруюча гіпотеза має вигляд: , то розглядають двосторонню симетричну область, для якої критичну точку шукають із співвідношення:

Оскільки

то

тобто

Правило 1. Якщо нульова гіпотеза а конкуруюча гіпотеза , то перевірку гіпотези проводимо за такою схемою:

1) обчислюємо емпіричне значення критерію за формулою:

(3.44)

2) знаходимо за таблицею значень функції Лапласа критичне значення , використовуючи рівняння:

(3.45)

3) робимо висновок про висунуту гіпотезу: якщо , то гіпотезу  приймаємо; якщо , то відхиляємо гіпотезу на користь альтернативної

Якщо конкуруюча гіпотеза має вигляд: , то розглядають правосторонню критичну область, для якої критичну точку шукають із співвідношення:

Тоді

або

Якщо конкуруюча гіпотеза має вигляд то розглядають лівосторонню критичну область, для якої

Правило 2. Якщо нульова гіпотеза а конкуруюча гіпотеза або то перевірку гіпотези проводимо за схемою правила 1 із такими змінами:

1) замість рівняння (3.45) для знаходження критичного значення використовуємо рівняння:

(3.46)

2) робимо висновок стосовно висунутої гіпотези

а) якщо то немає підстав відхилити гіпотезу якщо то відхиляємо гіпотезу на користь альтернативної

б) якщо то немає підстав відхилити гіпотезу якщо то гіпотезу відхиляємо і приймаємо гіпотезу

Приклад 3.14. Із нормально розподіленої генеральної сукупності з відомим середнім квадратичним відхиленням одержано вибірку обсягу . За цією вибіркою знайдено вибіркове середнє Необхідно для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу за наявності конкуруючої: а) ; б) 

Розв’язання. Обчислимо емпіричне значення критерію за формулою (3.44):

Розглянемо випадок:

а) для альтернативної гіпотези обчислимо значення за формулою (див. додаток Б). Оскільки , то відхиляємо гіпотезу на користь

б) для альтернативної гіпотези знаходимо значення за формулою (3.46): (див. додаток Б). Оскільки , відхиляємо гіпотезу на користь гіпотези

Модель Б. Гіпотеза про значення математичного сподівання нормального закону розподілу за умови невідомої дисперсії.

Припустимо, що випадкова величина нормально розподілена з невідомими математичним сподіванням і дисперсією Потрібно на підставі вибірки перевірити нульову гіпотезу про рівність математичного сподівання певному числу При цьому припускаємо, що відомі такі величини: дані вибірки обсягу гіпотетичне значення математичного сподівання рівень значу­щості

Оскільки середнє квадратичне відхилення невідоме, то для перевірки гіпотези не зможемо скористатися статистикою через те, що для неї неможливо буде обчислити емпіричне значення У даному випадку використовуємо статистику

де  – вибіркове середнє;

– виправлене середнє квадратичне відхилення.

Можна показати, що за умови істинності гіпотези випадкова величина має розподіл Стьюдента з ступенями вільності.

Подальша побудова критичної області для дво- та односторонніх перевірок гіпотези здійснюється аналогічно випадку моделі з відмінністю в тому, що критичні точки (тут замість вони позначатимуться через ) визначаються за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента (див. додаток Г), а не значень функції Лапласа. За того самого рівня значущості значення буде більшим, ніж

Правило 1. Якщо нульова гіпотеза а конкуруюча гіпотеза то перевірку гіпотези проводимо за такою схемою:

1) обчислюємо емпіричне значення критерію за формулою:

(3.47)

2) знаходимо за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента за даним рівнем значущості (для двосторонньої критичної області) й кількістю ступенів вільності критичну точку

3) робимо висновок про висунуту гіпотезу: якщо то гіпотезу приймаємо; якщо то відхиляємо гіпотезу на користь альтернативної

Правило 2. Якщо нульова гіпотеза , а конкуруюча гіпотеза то перевірку гіпотези проводимо за схемою правила 1 із такими змінами:

1) за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента за даним рівнем значущості (для односторонньої критичної області) і кількістю ступенів вільності знаходимо критичну точку (див. додаток Г);

2) робимо висновок стосовно висунутої гіпотези:

а) якщо то немає підстав відхилити гіпотезу якщо то відхиляємо гіпотезу на користь альтернативної

б) якщо то немає підстав відхилити гіпотезу якщо то гіпотезу відхиляємо і приймаємо гіпотезу

Приклад 3.15. Із нормально розподіленої генеральної сукупності одержано вибірку обсягу . За цією вибіркою знайдено вибіркове середнє та виправлене середнє . Необхідно для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу за наявності конкуруючої: а) ; б)

Розв’язання. Обчислимо емпіричне значення критерію за формулою (3.47):

Розглянемо окремо випадки:

а) для альтернативної гіпотези обчислимо значення за таблицею для числа ступенів вільності і рівня значущості , користуючись додатком Г, знаходимо (для двосторонньої критичної області). Оскільки , то відхиляємо гіпотезу на користь

б) для альтернативної гіпотези знаходимо значення за таблицею для числа ступенів вільності і рівня значущості , користуючись додатком Г, знаходимо (для правосторонньої критичної області). Оскільки гіпотезу відхиляємо і приймаємо гіпотезу