Питання для самоконтролю

1. Що таке комбінаторика?

2. Які задачі вважаються комбінаторними?

3. Дати означення:

а) перестановки з п елементів;

б) розміщення з п по т елементів;

в) комбінації з п по т елементів.

4. Записати формули для обчислення числа:

а) перестановок з п елементів;

б) розміщень з п по т елементів;

в) комбінацій з п по т елементів.

5. Чого більше – розміщень чи комбінацій з п по т елементів?

Вправи

1. Скількома способами можна скласти список із 15 студентів групи?

2. Скількома способами 6 осіб можна розмістити за круглим столом?

3. Скількома способами можна призначити трьох осіб на три різні посади з 8 кандидатів на них?

4. Скільки можна утворити телефонних номерів, кожен з яких містить п’ять різних цифр (номер не може починатися з нуля)?

5. У банку працюють 15 співробітників, три з яких не мають потрібної кваліфікації. Скільки можна скласти списків:

а) із 8 співробітників;

б) із 6 кваліфікованих співробітників?

6. Правління підприємства складається з 9 осіб. Скількома способами можна вибрати:

а) три особи у відрядження;

б) президента, директора та комерційного директора?

7. На книжковій полиці вміщується 10 томів енциклопедії. Скількома способами їх можна розташувати так, щоб:

а) томи 1 і 2 стояли поруч;

б) томи 3 і 4 не стояли поруч?

8. Вісім груп навчається в десяти розміщених поряд аудиторіях. Скільки існує варіантів розміщення груп в аудиторіях, при яких:

а) групи № 1 і 2 знаходитимуться в сусідніх аудиторіях;

б) групи № 5 і 7 знаходитимуться не в сусідніх аудиторіях.

9. Скількома способами з 12 учасників змагань можна скласти:

а) команду з чотирьох осіб;

б) 3 групи по 4 особи?

1.2. Ймовірність випадкової події. Способи обчислення ймовірностей випадкових подій

1. Класичне означення ймовірності

Розглянемо скінченний простір елементарних подій

, де – попарно несумісні і рівноможливі елементарні події. Нехай деякій події А сприяє т із п елементарних подій простору .

Ймовірністю випадкової події А називається відношення числа результатів випробування, сприятливих для А, до числа всіх рівноможливих і попарно несумісних результатів випробування:

(1.4)

Властивості ймовірності:

1. Для кожної події справджується нерівність

2. Ймовірність достовірної події дорівнює 1,

3. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю, Р(Ø) = 0.

Приклад 1.5. Учасники жеребкування тягнуть з ящика жетони з номерами від 1 до 100. Яка ймовірність того, що номер навмання витягнутого жетона не містить цифри 5?

Розв’язання. А – вибір жетона з номером, що не містить цифри 5; бо 19 жетонів містять цифру 5.

.

Приклад 1.6. В урні 5 білих і 7 чорних куль. З урни навмання беруть шість куль. Знайти ймовірність того, що:

1) всі шість куль чорні (подія А);

2) чотири кулі чорні і дві білі (подія В).

Розв’язання

1) число всіх елементарних подій дорівнює числу комбінацій з 12 по 6, тобто . Знаходимо число сприятливих подій. 6 чорних куль можна вибрати з 7 чорних способами. Тому шукана ймовірність дорівнює

;

2) як і в 1), . Знаходимо число сприятливих подій. 2 білі кулі можна вибрати з 5 білих способами, а 4 чорних із 7 чорних – способами. За правилом множення одержимо . Маємо

.