3.8.6. Оцінка істинного значення вимірюваної величини

Припустимо, що проводять одним приладом незалежних вимірювань деякої фізичної величини з однаковою точністю приладу, до того ж істинне значення цієї величини невідоме. Результати вимірювань це незалежні однаково розподілені випадкові величини, оскільки вони мають одне й те саме математичне сподівання – істинне значення вимірюваної величини та однакові дисперсії, бо вимірювання здійснюється з однаковою точністю. На підставі центральної граничної теореми можна також стверджувати, що ці випадкові величини розподілені нормально. Отже, істинне значення величини, яка вимірюється, можна оцінити за середнім арифметичним окремих вимірювань за допомогою інтервалів довіри.

Приклад 3.9. За даними 9-ти незалежних вимірювань фізичної величини, здійснених за допомогою одного приладу, знайдено середнє арифметичне результатів окремих вимірювань і виправлене середнє квадратичне відхилення Оцінити істинне значення вимірюваної величини з надійністю

Розв’язання. Оскільки і середнє квадратичне відхилення невідоме, то межі інтервалу довіри знаходимо за формулою (3.36), а значення – за допомогою таблиці (див. додаток Г): Тоді

Отже, із надійністю істинне значення вимірюваної величини покривається інтервалом

3.8.7. Інтервали довіри для середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини

Припустимо, що ознака генеральної сукупності розподілена нормально. Знайдемо інтервал довіри для середнього квадратичного відхилення із заданою надійністю Оскільки статистичною точковою оцінкою для параметра є виправлене середнє квадратичне відхилення s, то для цього потрібно розв’язати рівняння:

Перетворимо подвійну нерівність

(3.38)

де

Залишається знайти Для цього розглянемо випадкову величину

де – обсяг вибірки.

Відомо, що випадкова величина розподілена за законом з ступенями вільності, тому квадратний корінь із неї позначають через

Припустимо, що тоді нерівність (3.38) перетвориться так:

або

Отже,

де Із отриманого рівняння можна за допомогою таблиці (додаток Е) знайти

Обчисливши за вибіркою та знайшовши за таблицею отримаємо шуканий інтервал довіри (3.38), який покриває параметр із заданою ймовірністю

Якщо то нерівність (3.38) набуває вигляду:

У цьому випадку також шукають за таблицею значень (див. додаток Е).

3.8.8. Оцінка точності вимірювань

У теорії помилок прийнято точність вимірювань характеризувати за допомогою середнього квадратичного відхилення випадкових помилок вимірювань. Для оцінки використовують виправлене середнє квадратичне відхилення s.

Приклад 3.10. За даними 20-ти рівноточних вимірювань знайдено виправлене середнє квадратичне відхилення Знайти точність вимірювання з надійністю

Розв’язання. Знайти точність вимірювання – означає знайти інтервал довіри який покриває із заданою надійністю За таблицею значень (див. додаток E) знаходимо Шуканий інтервал довіри:

Питання для самоконтролю

1. Що називається надійністю статистичної точкової оцінки параметра

2. Що називається інтервалом довіри?

3. Які закони розподілу Ви знаєте?

4. Що називають -розподілом; розподілом Стьюдента; F-розподілом?

5. Як знайти інтервали довіри для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому ?

6. Як знайти інтервали довіри для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при невідомому ?

7. Як знайти мінімальний обсяг вибірки, що забезпечить оцінку математичного сподівання із заздалегідь заданою точністю і надійністю

8. Як знайти інтервали довіри для оцінки середньоквадратичного відхилення нормального розподілу?

9. Як оцінити точність вимірювань?

Вправи

1. Знайти інтервал довіри з надійністю для оцінки математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини якщо відомі її середнє квадратичне відхилення вибіркове середнє та обсяг вибірки

2. Знайти довірчий інтервал з надійністю для оцінки математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини X із середнім квадратичним відхиленням вибірковим середнім та обсягом вибірки

3. За даними вибірки обсягу знайдено незміщене значення вибіркового середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини Знайти з надійністю довірчий інтервал для оцінки середнього квадратичного відхилення випадкової величини.

4. У декількох невеликих крамницях проведена перевірка якості 100 виробів. У результаті обробки результатів отримано незміщене значення вибіркового середнього квадратичного відхилення

Вважаючи розподіл якісних виробів нормальним, знайти з надійністю довірчий інтервал для оцінки середнього квадратичного відхилення.