3.8. Інтервальні оцінки параметрів розподілу

3.8.1. Надійність. Інтервал довіри

Статистична точкова оцінка параметра тим точніша, чим менше величина різниці Якщо б вдалося встановити, що то число характеризувало б точність статистичної точкової оцінки параметра . Однак статистичні методи не дозволяють категорично стверджувати, що бо є випадковою величиною. Можна лише говорити про ймовірність , з якою ця нерівність виконується.

Надійністю статистичної точкової оцінки параметра називають імовірність , з якою виконується нерівність тобто

(3.32)

На практиці надійність оцінки задається наперед, принаймні число вибирають близьким до одиниці:

Наприклад, надійність оцінки означає, що за достатньо великої кількості вибірок 95 % із них визначають такі інтервали довіри, в яких справді знаходиться невідомий параметр.

Співвідношення (3.32) перепишемо в такому вигляді:

(3.32^' )

Інтервал для якого виконується рівність (3.32), називається інтервалом довіри (надійним інтервалом), а його межі і – надійними межами для параметра розподілу

Спосіб знаходження інтервалу довіри – розв’язати рівняння (3.32), з якого і визначають число

Для цього необхідно обчислити ймовірність Це можна зробити, якщо відомий закон розподілу статистичної оцінки або пов’язаної з нею іншої випадкової величини, бо тоді можна використати відомі формули з теорії ймовірностей:

де – функція розподілу;

– щільність розподілу випадкової величини

3.8.2. Розподіл – “хі-квадрат”

Для розв’язання рівняння (3.32^' ) поряд із розглянутими розподілами випадкових величин у статистиці застосовують ще розподіли “хі-квадрат”, Стьюдента і Фішера-Снедекора. Розглянемо ці розподіли.

Припустимо, що – незалежні й нормально розподілені випадкові величини, принаймні їх математичні сподівання і середньоквадратичні відхилення для будь-якого Випадкова величина

має розподіл із ступенями вільності.

Розподіл “хі-квадрат” залежить від одного параметра і при він наближається до нормального закону.

3.8.3. Розподіл Стьюдента

Припустимо, що – нормально розподілена випадкова величина, принаймні її математичне сподівання і середньоквадратичні відхилення , а – незалежна від випадкова величина, яка розподілена за законом з ступенями вільності. Тоді випадкова величина:

має розподіл Стьюдента з ступенями вільності.

Розподіл Стьюдента також залежить від одного параметра і при він наближається до нормального закону.

3.8.4. Розподіл Фішера-Снедекора

Припустимо, що і – незалежні випадкові величини, які мають розподіли із і ступенями вільності відповідно. Випадкова величина

залежить від двох параметрів – ступенів вільності і

Цей розподіл отримав назву F-розподілу, або розподілу Фішера-Снедекора.

Зокрема, F-розподілу підпорядковується відношення дисперсій двох незалежних вибірок обсягів і із двох, нормально розподілених генеральних сукупностей із рівними дисперсіями. У цьому випадку

3.8.5. Інтервальні оцінки для математичного сподівання

Теорема. Припустимо, що – нормально розподілена ознака генеральної сукупності, – вибіркове середнє, знайдене за вибіркою обсягу із цієї генеральної сукупності. Тоді – нормально розподілена випадкова величина.

Теорема. Припустимо, що – нормально розподілена ознака генеральної сукупності, для якої вибіркове середнє, обчислене за вибіркою обсягу із цієї генеральної сукупності. Тоді для

(3.33)

де

Теорема. Припустимо, що – нормально розподілена ознака генеральної сукупності, для якої – вибіркове середнє, обчислене за вибіркою обсягу із цієї генеральної сукупності. Тоді для

(3.34)

Припустимо, що x₁, x₂, …, x_n – результати незалежних спостережень за випадковою величиною X, на підставі яких необхідно знайти інтервал довіри для невідомого параметра

Оскільки для математичного сподівання статистичною точковою оцінкою є вибіркове середнє то для знаходження інтервалу довіри потрібно розв’язати рівняння:

(3.35)

Якщо середнє квадратичне відхилення випадкової величини відоме, то розв’язок рівняння (3.35) можна знайти, використовуючи рівність (3.33) або (3.34).

Так, якщо – нормально розподілена випадкова величина з відомим середньоквадратичним відхиленням то можна записати, що

Тоді, якщо – розв’язок рівняння із надійністю то інтервал

є інтервалом довіри математичного сподівання

Якщо середнє квадратичне відхилення – невідоме, але обсяг вибірки значний , то інтервал довіри можна записати у вигляді:

(3.36)

де  – виправлене середнє квадратичне відхилення, знайдене за вибіркою обсягу

Якщо середнє квадратичне відхилення – невідоме, але обсяг вибірки незначний – нормально розподілена випадкова величина, то інтервал довіри також записують за допомогою формули (3.36), де значення знаходять за таблицями як розв’язок рівняння

де випадкова величина, розподілена за законом

Ст’юдента з ступенями вільності.

Розподіл Стьюдента залежить лише від одного параметра і при наближається до нормального розподілу. Тому навіть якщо середнє квадратичне відхилення випадкової величини невідоме, але обсяг вибірки значний , то можна користуватися формулою (3.33) або (3.34).

Якщо необхідно оцінити математичне сподівання із заздалегідь заданою точністю і надійністю , то мінімальний обсяг вибірки, який забезпечить цю точність, знаходять за формулою

(3.37)

(як наслідок рівності ).

Приклад 3.6. Випадкова величина розподілена нормально з відомим середньоквадратичним відхиленням Знайти інтервал довіри з надійністю для оцінки невідомого математичного сподівання якщо вибіркове середнє знайдене за даними вибірки обсягу

Розв’язання. Із рівняння за допомогою таблиці значень функції Лапласа (додаток Б) знаходимо Межі інтервалу довіри шукаємо за формулами:

Отже, із надійністю

Приклад 3.7. Ознака генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу знайдено вибіркове середнє і виправлене середнє квадратичне відхиленням Оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою інтервалу довіри з надійністю

Розв’язання. Оскільки обсяг вибірки незначний і середнє квадратичне відхилення невідоме, то для знаходження меж інтервалу довіри скористуємося формулою (3.36), де значення знаходимо за допомогою таблиці (додаток Г): Тоді

Отже, із надійністю

Приклад 3.8. Знайти мінімальний обсяг вибірки, на підставі якої можна було б оцінити математичне сподівання випадкової величини з похибкою, яка не перевищує 0,2, і надійністю 0,98, якщо випадкова величина розподілена нормально з

Розв’язання. Із рівняння за допомогою таблиці функції Лапласа (див. додаток Б) знаходимо За формулою (3.37) знаходимо n: