3.7.5. Метод максимуму правдоподібності статистичного оцінювання параметрів розподілу

На підставі даних вибірки отриманої внаслідок спостережень над випадковою величиною X, потрібно оцінити невідомий параметр Припустимо, що закон розподілу випадкової величини відомий із точністю до параметра і визначається за допомогою функції яка у випадку дискретної випадкової величини X задає ймовірність події а у випадку неперервної випадкової величини – щільність її розподілу.

Функцією правдоподібності називають функцію

яка зображує сумісний розподіл випадкового вектора з незалежними компонентами, кожна з яких має той самий розподіл, що й випадкова величина X.

Ідея методу максимуму правдоподібності: за статистичну оцінку невідомого параметра приймають таке його значення для якого функція правдоподібності що розглядається як функція від при фіксованих значеннях досягає максимуму.

Схема статистичного оцінювання параметра методом максимуму правдоподібності:

1) досліджуємо функцію правдоподібності на максимум за допомогою методів диференціального числення: знаходимо критичні точки із системи рівнянь:

Для спрощення обчислень зручно замість функції розглядати логарифмічну функцію правдоподібності оскільки точки екстремуму для функцій і збігаються, бо Знаходимо критичні точки функції із системи рівнянь:

розв’язки якої

2) використовуючи достатні умови екстремуму функції, знаходимо точку максимуму.

Метод максимуму правдоподібності статистичного оцінювання параметрів розподілу має низку важливих переваг:

• вони слушні, асимптотично нормально розподілені (при великому обсязі вибірки їх розподіл близький до нормального) і мають найменшу дисперсію в порівнянні з іншими асимптотично нормальними оцінками;

• найбільш повно використовуються дані вибірки для оцінки параметрів, тому цей метод особливо корисний за малих обсягів вибірки.

Недолік методу в тому, що він часто вимагає складних обчислень.

Найчастіше цей метод використовується при біноміальному, показниковому розподілах і розподілі Пуассона.

У випадку біноміального розподілу функція правдоподібності має вигляд:

де

Після логарифмування та прирівнювання до нуля похідної від отримуємо вираз для оцінки параметра

У випадку, якщо варіанта має частоту , то оцінка параметра така:

де  – кількість дослідів по випробувань у кожному.

Питання для самоконтролю

1. Що називається статистичною оцінкою невідомого параметра розподілу випадкової величини X?

2. Яка статистична оцінка називається незміщеною, ефективною, слушною (або змістовною, або конзистентною)?

3. Що приймають за статистичну оцінку математичного сподівання?

4. Що приймають за статистичні оцінки дисперсії, які властивості вони мають?

5. Що називається виправленою дисперсією

6. Які існують методи статистичного оцінювання параметрів розподілу, у чому вони полягають?

Вправи

1. За результатами соціологічного опитування 1 000 осіб з питання їх середнього місячного прибутку у гривнях отримано такі результати:

	500-750	750-1 000	1 000-1 500	1 500-2 000	2 000-2 500	2 500-3 000
	50	250	400	150	100	50

Обчислити незміщені точкові оцінки для математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратичного відхилення випадкової величини – середнього місячного прибутку.

2. На підприємстві виготовляється деякий вид продукції. Щомісячний обсяг випуску цієї продукції є випадковою величиною, для характеристики якої прийнято показниковий закон розподілу. Протягом шести місяців проводилось вимірювання обсягу випуску продукції. У результаті отримано такі дані:

Місяць	1	2	3	4	5	6
Обсяг випуску	20	24	25	28	27	32

Знайти методом моментів оцінку параметра

3. За умови рівномірного розподілу випадкової величини отримано вибірку:

	2	3	4	5	6
	4	6	5	12	8

Знайти методом моментів оцінку параметрів та

4. Випадкова величина розподілена за біноміальним законом. За наведеним статистичним розподілом вибірки знайти точкову оцінку параметра ( ):

	0	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	10	22	26	20	12	5

5. Знайти методом максимальної правдоподібності оцінку параметра показникового розподілу.

6. На основі вибірки знайти за методом максимальної правдоподібності точкові оцінки параметра закону розподілу Пуассона випадкової величини

7. Скляні однорідні вироби відправлені для реалізації у 1 000 контейнерах. Після надходження товару виявили кількість пошкоджених виробів у кожному контейнері:

	0	1	2	3	4
	785	163	32	16	4

Вважаючи, що кількість пошкоджених виробів описується законом Пуассона, знайти точкову оцінку параметра