1.1.2. Елементи комбінаторики

При розв’язуванні імовірнісних задач часто використовують елементи комбінаторики.

Нехай М – множина, що містить п елементів.

Розміщенням з п елементів по т називається довільна впорядкована підмножина з т елементів з множини М. Число розміщень з п елементів по т знаходиться за формулою

(1.1)

Приклад 1.2. Студенти вивчають 10 дисциплін. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок, якщо в цей день повинно бути 3 різні дисципліни за розкладом?

Розв’язання. За формулою (1.1) одержимо:

Розміщення з п елементів по п називаються перестановками. Різні перестановки відрізняються лише порядком елементів. Число перестановок з п елементів дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до п.

(1.2)

Приклад 1.3. Скількома способами можна розставити на одній полиці 6 різних книг?

Розв’язання. Шукане число способів дорівнює числу перестановок з 6 елементів, тобто

Таблиця 1.1

Розв’язування комбінаторних задач

Вибір правила
Правило суми		Правило добутку
Якщо елемент а можна вибрати п способами, а після цього елемент b – т способами, причому будь-який вибір елемента а не збігається з вибором елемента b, то а або b можна вибрати п + т способами		Якщо елемент а можна вибрати п способами, а елемент b – т способами, то а і b, тобто пару (а, b) можна вибрати пт способами
1. Вибір виду сполуки і відповідної формули
Чи враховується порядок розміщення елементів?
Так			Ні
Чи всі елементи входять до сполуки?
Так	Ні
2. Модель
Впорядкована множина з п елементів	Впорядкована множина з т різних елементів, кожний з яких вибрано з п-елементної множини		Довільна множина з т різних елементів, кожний з яких вибрано з п-елементної множини
3. Характеристичні ознаки
1) елементи різні	1) елементи і місця різні		1) елементи різні
2) усі місця зайняті	2) 0		2) 0
3) порядок елементів важливий	3) усі т місця зайняті		3) порядок вибору елементів не має значення
	4) порядок елементів важливий

Комбінацією (сполукою) з п елементів по т називається довільна підмножина з т елементів з множини М. Порядок елементів у комбінаціях неістотний. Число комбінацій з п елементів по т знаходиться за формулою

(1.3)

Умовимось, що 0! = 1.

Приклад 1.4. У бригаді з 25 чоловік потрібно вибрати чотирьох для роботи на певній ділянці. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання. Оскільки порядок вибраних чотирьох чоловік не має значення, то це можна зробити способами. За формулою (1.3) знаходимо