2.5.6. Умовні числові характеристики двовимірної випадкової величини. Регресія
До умовних числових характеристик однієї з компонент системи відносять умовне математичне сподівання, умовну дисперсію та умовне середнє квадратичне відхилення. Ці характеристики визначають на підставі умовних законів розподілу.
1. Випадок дискретної випадкової величини
Для дискретної двовимірної випадкової величини умовні числові характеристики обчислюють за формулами:
умовні математичні сподівання:
(2.37)
(2.38)
умовні дисперсії:
(2.39)
(2.40)
умовні середні квадратичні відхилення:
(2.41)
(2.42)
Приклад 2.21. Закон розподілу двовимірної випадкової величини задано таблицею
Х Y |
1 |
2 |
4 |
|
0 |
0,1 |
0 |
0,1 |
0,2 |
2 |
0 |
0,3 |
0,3 |
0,6 |
5 |
0,2 |
0 |
0 |
0,2 |
|
0,3 |
0,3 |
0,4 |
– |
Обчислити
Розв’язання
2. Випадок неперервної випадкової величини
Числові характеристики умовного розподілу ймовірностей складових неперервної двовимірної випадкової величини обчислюють за формулами:
умовні математичні сподівання:
(2.43)
(2.44)
умовні дисперсії:
(2.45)
(2.46)
умовні середні квадратичні відхилення:
(2.47)
(2.48)
Умовне математичне
сподівання випадкової величини Y при
заданому
називається регресією Y на Х;
аналогічно
називається регресією Х на Y.
Графіки цих функцій від х і у називаються лініями регресії, або “кривими регресії” Y на Х і Х на Y відповідно.
Приклад 2.22. Щільність сумісного розподілу системи випадкових величин задана функцією
Обчислити регресії Y на Х і Х на Y.
Розв’язання. Знайдемо закони розподілу складових Х і Y:
(ми використали
інтеграл Пуассона
).
(обчислення
аналогічне).
У даному випадку
функції регресії
і
Питання для самоконтролю
1. За якими формулами
обчислюють умовні математичні сподівання
і
складових Х і Y двовимірної
дискретної випадкової величини (Х,
Y)?
2. За якими формулами
обчислюють умовні дисперсії
і
складових Х і Y двовимірної
дискретної випадкової величини (Х,
Y)?
3. Що називають функцією регресії Y на Х і функцією регресії Х на Y?
Вправи
1. Двовимірна випадкова величина (Х, Y) задана таблицею
Х Y |
2 |
5 |
8 |
0,4 |
0,15 |
0,30 |
0,35 |
0,8 |
0,05 |
0,12 |
0,03 |
Обчислити:
а) 
б) 
в) 
г) 
2. Закон розподілу двовимірної випадкової величини (Х, Y) заданий таблицею
Х Y |
–1 |
2 |
4 |
3 |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
5 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
Обчислити:
а) 
б) 
в) 
г) 
3. Двовимірна випадкова величина (Х, Y) задана щільністю розподілу
Визначити щільність
розподілів компонент Х і Y та
обчислити
і
