Розділ і випадкові події

1.1. Простір елементарних подій. Випадкові події та операції над ними. Комбінаторика

1.1.1. Основні поняття теорії ймовірностей. Операції над подіями

У теорії ймовірностей розглядаються випадкові експерименти – ті експерименти, результат яких не можна напевно передбачити. Такі експерименти називатимемо випробуваннями.

Найпростіший результат випробування називається елементарною подією і позначається . Сукупність усіх можливих елементарних подій випробування називається простором елементарних подій і позначається Ω.

Будь-яка підмножина А простору елементарних подій називається випадковою подією (рис. 1а). Елементарні події, що входять в А, називаються сприятливими для А. Сама множина Ω називається достовірною подією, порожня множина Ø – неможливою подією.

Сумою подій А і В називається подія А + В (А В), яка складається з елементарних подій, що належать хоч б одній із подій А або В (рис. 1б).

Добутком АВ (А∩В) називається подія, яка складається з елементарних подій, що належать одночасно А і В (рис. 1в).

Різницею А-В подій А і В називається подія, яка складається з тих елементарних подій, що входять в А і не входять у В (рис. 1г).

Подія називається протилежною події А, якщо Ø і (рис. 1д).

Події утворюють повну групу подій, якщо Ø і (рис. 1е).

А В А∩В А\В

Приклад 1.1. В урні лежать 4 кулі, занумеровані цифрами 1, 2, 3, 4. Витягують по одній дві кулі:

а) описати простір елементарних подій;

б) записати елементарні події, сприятливі для події А, яка полягає в тому, що витягнуто дві кулі з парними номерами.

Розв’язання

а) простір елементарних подій:

б) подія

Питання для самоконтролю

1. Що розуміють під випробуванням, подією?

2. Дати означення простору елементарних подій, випадкової події.

3. Що називається сумою подій, добутком подій, різницею подій?

4. Які події називаються несумісними?

5. Дати означення повної групи несумісних подій.

6. Які події називаються рівноможливими?

Вправи

1. Монету підкидають три рази підряд. Під наслідком випробування будемо розуміти послідовність , де кожний із означає випадання “герба” (Г) або “цифри” (Ц):

а) побудувати простір Ω елементарних подій;

б) описати подію А, яка полягає в тому, що випало не менше двох “гербів”.

2. Нехай А, В, С – три довільні події. Знайти вирази для подій, які полягають в тому, що із А, В, С:

а) відбулась тільки А;

б) відбулися А і В, але С не відбулась;

в) всі три події відбулися;

г) відбулося дві і тільки дві події;

ґ) жодна подія не відбулася;

д) відбулося не більше двох подій.

3.

Записати, у чому полягають події:

4.

Яка з подій утворює з подією A повну групу?

5. Записати, у чому полягають події:

6.

Яка з подій утворює з А повну групу?

7. Кидають два гральні кубики. Побудувати простір елементарних подій, а також записати такі події: А – на кубиках випадуть парні цифри, В – хоча б на одному кубику випаде цифра, кратна трьом,

8. У книжковій шафі стоять підручники з математики, теорії ймовірностей, статистики. Студент навмання бере три підручники. Побудувати простір елементарних подій, а також записати такі події: А – студент взяв принаймні один підручник з математики, В – студент не взяв підручник з теорії ймовірностей, С – студент взяв два підручники зі статистики,