2. Випадок неперервної величини

Нехай – двовимірна неперервна випадкова величина і – щільність її сумісного розподілу. Як уже зазначалося, закони розподілу складових Х і визначаються рівностями:

Умовною щільністю розподілу ймовірностей складової Х двовимірної неперервної величини за фіксованого значення називається відношення щільності її сумісного розподілу до щільності складової

(2.30)

Умовною щільністю розподілу ймовірностей складової двовимірної неперервної величини за фіксованого значення називається відношення щільності її сумісного розподілу до щільності складової Х:

(2.31)

Умовна щільність розподілу ймовірностей складової двовимірної неперервної випадкової величини визначає її умовний закон розподілу.

Звідси маємо висновок: знаючи щільність розподілів складових Х і та умовну щільність розподілу однієї з них, можемо обчислити щільність розподілу двовимірної неперервної випадкової величини за формулами:

Залежні та незалежні випадкові величини

При визначенні систем випадкових величин велику увагу приділяють степеню і характеру їх залежності.

Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, якого значення набула інша.

Із цього означення випливає, що умовні розподіли незалежних величин дорівнюють їх безумовним розподілам, тобто:

– для незалежних випадкових величин;
– для залежних випадкових величин.

Теорема. Для того щоб неперервні випадкові величини Х і були незалежними, необхідно і досить, щоб функція розподілу системи (Х, ) дорівнювала добутку функцій розподілу складових:

Наслідок. Для того щоб неперервні випадкові величини Х і були незалежними, необхідно і досить, щоб щільність сумісного розподілу системи (Х, ) дорівнювала добутку щільностей розподілу складових

У випадку, коли Х і Y – дві незалежні дискретні випадкові величини, то необхідна і достатня умова незалежності Х і виражається системою рівностей:

Приклад 2.17. Дано закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини

Х Y	1	2	3
1	0,02	0,06	0,12	0,20
2	0,05	0,09	0,18	0,32
3	0,03	0,15	0,30	0,48
	0,10	0,30	0,60	–

З’ясувати, чи випадкові величини Х і незалежні.

Розв’язання. Нагадаємо, що у внутрішніх клітинах таблиці містяться ймовірності які визначають сумісний розподіл двох випадкових величин Х і а останній рядок та останній стовпець характеризують одновимірні розподіли компонент Х і відповідно.