2.5. Двовимірна випадкова величина

Нехай у результаті випробування спостерігаються значення двох одновимірних випадкових величин. Сукупність випадкових величин, які розглядаються разом, називається системою двох випадкових величин, або двовимірною випадковою величиною.

2.5.1. Закон розподілу ймовірностей. Закони розподілу компонент

Всяке співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями, називається законом розподілу ймовірностей системи випадкових величин.

Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини записують у вигляді таблиці 2.2, де

Таблиця 2.2

Y X			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
			…		…		1

Знаючи закон розподілу двовимірної випадкової величини можна побудувати закони розподілу одновимірних складових і обчислюючи відповідні ймовірності за формулами

де

			…
			…

			…
			…

Приклад 2.12. Здійснюється два постріли по мішені в незмінних умовах. Ймовірність влучення у мішень при одному пострілі дорівнює 0,8. Випадкова величина – число пострілів до першого влучення (включно), – число промахів. Знайти:

а) закон розподілу двовимірної випадкової величини

б) закони розподілу складових.

Розв’язання

а) випадкова величина може набути значення або 1, або 2, а величина – значення 0, 1, 2. Отже, пари чисел (2,0), (2,1), (2,2) є можливими значеннями випадкової величини

Знайдемо – ймовірність промаху при одному пострілі. Тоді

Отже, закон розподілу двовимірної випадкової величини можна подати у вигляді таблиці:

Y X	0	1	2
1	0,64	0,16	0
2	0	0,16	0,04

Контроль

б) щоб записати закони розподілу складових Х і Y, обчислимо ймовірності подій і ( j = 1, 2, 3):

(Підсумуємо ймовірності “по рядках”, тобто знайдемо ).

Далі

(Підсумуємо ймовірності “по стовпцях”, тобто знайдемо ). Отже, закони розподілу складових Х і Y:

	1	2			0	1	2
	0,8	0,2			0,64	0,32	0,04