2.4. Граничні теореми теорії ймовірностей. Закон великих чисел і центральна гранична теорема. Нерівність ЧебишОва

2.4.1. Лема Чебишова

Лема Чебишова. Нехай Х – випадкова величина, можливі значення якої невід’ємні тоді ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення не менше А, буде не більшим дробу, чисельник якого – а знаменник А, тобто

(2.18)

Нерівність Чебишова. Якщо випадкова величина Х має скінченні математичне сподівання і дисперсію то для будь-якого числа виконується нерівність:

(2.19)

Кажуть, що послідовність випадкової величини збігається за ймовірністю до числа А, якщо для досить малого довільного числа , ймовірність події при наближається до 1, тобто

Приклад 2.10. Ймовірність запізнення пасажира на потяг 0,007. Оцінити ймовірність того, що із 20 000 пасажирів буде від 100 до 180 (включно) тих, що запізнилися.

Розв’язання. Застосуємо нерівність Чебишова

;

Межі допустимих значень симетричні відносно М(Х), ліва – 140 – – 40 = 100, права – 180 – 140 = 40.

2.4.2. Теорема Чебишова

Теорема. Якщо X₁, X₂,..., X_n – попарно незалежні випадкові величини, дисперсії їх рівномірно обмежені (тобто D(Х_i)  С), то яким би малим не було додатне число справедливе таке співвідношення

(2.20)

Наслідок із теорема Чебишова. Якщо в результаті п спостережень, де п досить велике, одержані випадкові величини X₁, X₂,..., X_n – попарно незалежні з одним і тим же тобто і рівномірно обмеженими дисперсіями D(X_і)  С, то середнє арифметичне значення величин, що спостерігаються збігається за ймовірністю до числа а, тобто:

. (2.21)

Приклад 2.11. Дисперсія кожної із 2 500 незалежних випадкових величин не перевищує 5. Оцінити ймовірність того, що абсолютна величина відхилення середньої арифметичної цих випадкових величин від середньої арифметичної їх математичних сподівань не перевершує 0,4.

Розв’язання. За формулою (2.21) маємо:

2.4.3. Теорема Бернуллі

Теорема. Якщо в кожному із п незалежних випробувань ймовірність р появи події А стала, то як завгодно близька до одиниці ймовірність того, що відхилення відносної частоти від ймовірності р за абсолютною величиною буде як завгодно малим, якщо число випробувань досить велике.

(2.22)

Питання для самоконтролю

1. У чому полягає суть закону великих чисел?

2. Сформулювати і довести нерівність Чебишова.

3. Яким умовам повинні задовольняти випадкові величини, щоб до них можна було застосувати теорему Чебишова?

4. Сформулювати і довести теорему Чебишова.

5. Сформулювати теорему Бернуллі та довести її.

6. Що стверджує центральна гранична теорема Ляпунова?

Вправи

1. Середнє значення маси деякого виробу дорівнює 50 г. Оцінити ймовірність того, що навмання взятий виріб має масу, меншу 90 г.

2. Число сонячних днів протягом року для даної місцевості є випадковою величиною з М(Х) = 75. Оцінити ймовірність того, що в наступному році в даній місцевості буде менше 150 сонячних днів.

3. Середня температура в квартирі протягом опалювального сезону дорівнює , а її середнє квадратичне відхилення – . Оцінити ймовірність того, що температура в квартирі відхилиться від середньої за абсолютною величиною менше ніж на

4. Випадкова величина Х задана законом розподілу

Х	0,3	0,6
Р	0,2	0,8

Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити

Р( ).

5. Випадкова величина Х задана законом розподілу

Х	0,1	0,4	0,6
Р	0,2	0,3	0,5

Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити

Р( ).

6. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити Р ( 0,1), якщо D(X) = 0,001.

7. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити

Р(

8. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити

Р ( 0,2), якщо D(X) = 0,004.

9. Дано: Р( )  0,9, D(X) = 0,004. Користуючись нерівністю Чебишова, знайти .

10. Дано: Р( )  0,9, D(X) = 0,009. Користуючись нерівністю Чебишова, знайти .

11. Дано: М(Х) = а, D(X) = σ ². Оцінити зверху Р(  3σ).

12. Прилад складається із 100 незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови кожного з них за час t дорівнює 0,05. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити:

а) р( 3);

б) р(  3), де Х – число елементів що відмовили за час t.

13. В освітлювальну мережу паралельно ввімкнено 20 ламп. Ймовірність того, що протягом часу t лампа горітиме, дорівнює 0,8. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити:

а) Р( 3);

б) Р(  3), де Х – число ввімкнених ламп за час t.

14. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює 0,5. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що число Х появи події А при 100 незалежних випробуваннях знаходитиметься в межах від 40 до 60.

15. Нехай проростання насіння деякої культури становить 75 %. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що з висіяних 1 000 зерен проросте від 700 до 800 зерен включно.

16. Середнє значення довжини деталі дорівнює 50 см. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що виготовлена деталь виявиться за своєю довжиною не меншою 49,5 см і не більшою 50,5 см при D(X) = 0,1.

17. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює 0,25. Користуючись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що число Х появи події у 800 випробуваннях лежатиме в межах від 150 до 250.

18. Монета підкидається 1 000 разів. Оцінити ймовірність того, що відхилення частоти появи герба від ймовірності появи герба за модулем менше, ніж 0,1.

19. При штамповці платівок за даними ВТК брак становить 3 %. Знайти ймовірність того, що при обстеженні партії із 1 000 платівок виявиться, що відхилення від встановленого процента браку менше 1 %.

20. Партія деталей розподілена по ящиках, які мають однакову масу (нетто). З кожного ящика навмання береться по одній деталі і визначаються їх маси. Відомо, що дисперсія по кожному з ящиків не перевищує 4. Встановити, при якому числі ящиків відхилення середньої вибіркової маси деталі від загальної середньої її маси менше, ніж на 0,2 кг, визначається ймовірністю, яка перевищує 0,95.

21. Скільки потрібно провести випробувань, щоб з ймовірністю, не меншою 0,99, можна було б стверджувати, що відхилення відносної частоти від ймовірності події р = 0,4 буде не менше 1 %?

22 При якому числі незалежних випробувань Р( 0,2)  0,96, якщо ймовірність появи події при одному випробуванні дорівнює 0,7?

23. Ймовірність деякої події А в кожному із незалежних випробувань дорівнює 1/3. Оцінити ймовірність того, що частота цієї події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною менше ніж на 0,01, якщо проведено:

а) 9 000 випробувань;

б) 75 000 випробувань.

24. Скільки дослідів з підкиданням монет потрібно провести, щоб з ймовірністю 0,92 можна було очікувати відхилення частоти появ герба від теоретичної ймовірності 0,5 за абсолютною величиною менше ніж на 0,01?