Числові характеристики деяких розподілів

Біномний розподіл	Х	0		1	…	п
	Р				…
Розподіл Пуассона	Х	0	1	2	…	п
	Р				…
Рівномірний розподіл
Показниковий розподіл
Нормальний розподіл

Питання для самоконтролю

1. Що називається математичним сподіванням дискретної випадкової величини Х? Дисперсією? Середнім квадратичним відхиленням? Навести їх властивості.

2. Як обчислюються математичне сподівання і дисперсія неперервної випадкової величини?

3. Дати означення початкового моменту випадкової величини.

4. Дати означення центрального моменту випадкової величини.

5. Який зв’язок між центральними і початковими моментами випадкової величини?

6. Дати означення моди і медіани випадкової величини.

Вправи

1. Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини Х відповідно дорівнюють 2 і 10. Знайти М(2Х + 5) і D(2Х + 5).

2. Випадкова величина Х набуває трьох значень Відомо, що . Знайти закон розподілу Х.

3. Визначити математичне сподівання (середнє число), дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини X, розподіл ймовірностей якої задано таблицею:

а)

xi	10	20	30	40	50
pi	0,18	0,26	0,32	0,20	0,04

б)

xi	9	10	20	40	50
pi	0,1	0,15	0,15	0,4	0,2

в)

xi	–1	0	2	3	5
pi	0,15	0,3	0,15	0,2	0,2

г)

xi	0	1	2	3	4
pi	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

4. Випадкова величина X набуває двох можливих значень та з ймовірностями відповідно та Знайти х₁ та х₂ і записати її закон розподілу, якщо:

а)

б)

в)

г)

5. Заданий закон розподілу дискретної випадкової величини X:

X = хi	–3	–2	1	3	5	7
Р(Х = хi) = pi	a	1,5 a	0,5 a	3,5 a	2,5 a	a

Знайти:

а) параметр а;

б)

в) функцію розподілу ймовірностей та побудувати її графік;

г) М(Х), D(X), A_S, E_S.

6. Випадкові величини Х і У незалежні. Відомо, що Знайти , якщо:

1)

2)

3)

7. Партія, що нараховує 10 виробів, містить 3 браковані. Зі всієї партії довільно вибирають 3 вироби з метою перевірки їх якості. Знайти математичне сподівання та дисперсію кількості бракованих виробів, що містяться в такій довільній вибірці.

8. Імовірність виготовлення стандартної деталі дорівнює 0,96. Для перевірки навмання взято 300 деталей. Скільки в середньому виявиться бракованих деталей серед перевірених? Яким є середнє квадратичне відхилення кількості бракованих деталей?

9. Середнє число викликів, що находять на АТС за хвилину, дорівнює 120. Знайти ймовірності таких подій:

А = {за дві секунди надійде менше двох викликів};

В = {за 1 секунду на АТС надійде хоч би один виклик};

С = {за 3 секунди надійде не менше шести викликів}.

10. Два стрільці незалежно один від одного зробили по п пострілів у мішень. Ймовірність влучення при кожному пострілі для першого стрільця дорівнює для другого – Позначимо через і число влучень у мішень першого і другого стрільців відповідно. Знайти:

а)

б)

в)

г)

11. Обчислити D(X), (X), якщо закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини X задано функцією розподілу

12. Випадкова величина Х має щільність ймовірності

Знайти і

13. У задачах дано – функцію розподілу випадкової величини Х. Потрібно:

1) знайти функцію щільності ймовірностей

2) обчислити М(Х) і D(X);

3) побудувати графіки функцій і

а)

б)

в)

14. У задачах дано – функцію щільності ймовірностей. Знайти функцію розподілу, обчислити M(X ) і D(X ):

15. Дано закон розподілу випадкової величини Х:

x	2	4	6	8
Р	0,4	0,3	0,2	0,1

x	2	3	5
Р	0,1	0,4	0,5

Знайти:

а) початкові і центральні моменти перших чотирьох порядків;

б) асиметрію та ексцес цієї випадкової величини.

16. Дана щільність ймовірності випадкової величини Х

Знайти:

а) початкові та центральні моменти перших чотирьох порядків;

б) асиметрію та ексцес цієї випадкової величини.

17. Знайти моду медіану випадкової величини Х, заданої функцією розподілу

18. Випадкова величина Х в інтервалі (–1; 1) задана щільністю розподілу поза цим інтервалом

Знайти:

а) моду;

б) медіану Х.