Розділ іі випадкові величини

2.1. Одновимірні випадкові величини. Способи задання

2.1.1. Дискретні випадкові величини. Функція розподілу. Основні закони розподілу

Нехай – простір елементарних подій. Випадковою величиною Х називається функція , визначена на множині , приймає числові значення і така, що для будь-якого дійсного х визначена ймовірність . Ця ймовірність називається функцією розподілу випадкової величини Х.

Властивості функції розподілу:

1.

2. , якщо

3.

4.

Випадкова величина називається дискретною, якщо множина її значень скінченна або злічена, тобто множина її значень представляє собою скінченну послідовність або нескінченну послідовність

Відповідність між можливими значеннями випадкової величини Х і їх ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини Х.

(2.1)

За рядом розподілу (2.1) можна побудувати функцію розподілу дискретної випадкової величини Х:

(2.2)

де підсумування поширюється на ті індекси для яких

Графічне зображення ряду розподілу називається многокутником розподілу. Для його побудови в прямокутній системі координат будують точки і з’єднують їх відрізками прямих.

Приклад 2.1. Побудувати ряд розподілу і функцію розподілу числа влучень м’ячем у корзину при двох кидках, якщо ймовірність влучення дорівнює 0,4.

Розв’язання

1) випадкова величина Х – число влучень у корзину при двох кидках – може приймати такі значення Знайдемо ймовірності можливих значень Х:

Ряд розподілу

Контроль 0,36 + 0,48 + 0,16 = 1;

2) якщо:

, то

, то

, то

, то

З акони розподілу:

а) біномний

Х	0	1	2	…	k	…	п
				…		…

де

б) Пуассона

Х	0	1	2	…	k	…	п
				…		…

де

2.1.2. Неперервні випадкові величини. Щільність розподілу. Основні закони розподілу

Випадкову величину Х називають неперервною, якщо її функцію розподілу можна подати у такому вигляді:

(2.3)

де  – деяка функція, яку називають щільністю розподілу ймовірностей. Властивості щільності розподілу:

1.

2. , зокрема

3.

4.

Неперервна випадкова величина може бути задана або функцією розподілу , або щільністю ймовірностей .

Приклад 2.2. Випадкова величина Х задана функцією розподілу:

Знайти:

1) коефіцієнт а;

2) щільність ймовірностей

3) ймовірність попадання величини Х в інтервал (2,5; 3,5).

Розв’язання

Враховуючи вигляд f(x), дістанемо Звідси:

Отже,

Приклад 2.3. Випадкова величина Х має щільність розподілу:

Побудувати функцію розподілу і накреслити її графік.

Розв’язання. Відомо, що . Знайдемо значення цієї функції на кожному інтервалі окремо:

1. При

2. При

3. При

Отже,

Побудуємо графік

Закони розподілу:

a) рівномірний

б) показниковий

в) нормальний