Державний вищий навчальний заклад

“Українська академія банківської справи

Національного банку України”

Кафедра вищої математики та інформатики

Т.І. Малютіна, к.А. Дахер вища математика для економістів

Частина 4

Теорія ймовірностей і математична статистика

Практикум

У 4 частинах

Для студентів економічних спеціальностей

вищих навчальних закладів

Суми

ДВНЗ “УАБС НБУ”

2009

УДК 519.86(075.8)

М18

Рекомендовано до видання вченою радою Державного вищого навчального закладу “Українська академія банківської справи Національного банку України”, протокол № 3 від 28.11.2008.

Рецензенти:

кандидат технічних наук, доцент

В.В. Яценко;

кандидат технічних наук, доцент

С.В. Кунцев

Відповідальний за випуск

кандидат технічних наук, доцент

В.В. Яценко

Малютіна, Т. І.

В

М18

ища математика для економістів. Ч. 4. Теорія ймовірностей і математична статистика [Текст] : практикум : у 4 ч. / Т. І. Малютіна, К. А. Дахер ; Державний вищий навчальний заклад “Українська академія банківської справи Національного банку України”. – Суми : ДВНЗ “УАБС НБУ”, 2009. – 159 с.

Видання містить короткі теоретичні відомості та формули, типові приклади задач і методику їх розв’язання, завдання для самостійної роботи, а також контрольні питання до кожної теми.

Призначене для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів.

УДК 519.86(075.8)

© Малютіна Т.І., Дахер К.А., 2009

© ДВНЗ “Українська академія банківської справи Національного банку України”, 2009

ЗМІСТ

М18 2

Вища математика для економістів. Ч. 4. Теорія ймовірностей і математична статистика [Текст] : практикум : у 4 ч. / Т. І. Малютіна, К. А. Дахер ; Державний вищий навчальний заклад “Українська академія банківської справи Національного банку України”. – Суми : ДВНЗ “УАБС НБУ”, 2009. – 159 с. 2

Видання містить короткі теоретичні відомості та формули, типові приклади задач і методику їх розв’язання, завдання для самостійної роботи, а також контрольні питання до кожної теми. 2

Призначене для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів. 2

ЗМІСТ 3

Вступ 7

Розділ І ВИПАДКОВІ ПОДІЇ 8

1.1.1. Основні поняття теорії ймовірностей. Операції над подіями 8

1.1.2. Елементи комбінаторики 10

Розв’язування комбінаторних задач 11

1.2. Ймовірність випадкової події. Способи обчислення ймовірностей випадкових подій 13

1.3. Теореми додавання і множення ймовірностей. Умовна ймовірність 18

1.4. Формула повної ймовірності. Формула Байєса 23

1.5. Послідовні незалежні випробування 26

1.5.1. Формула Бернуллі 26

1.5.2. Формула Пуассона 27

1.5.3. Локальна теорема Муавра-Лапласа 28

1.5.4. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа 28

Розділ ІІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 33

2.1. Одновимірні випадкові величини. Способи задання 33

2.1.1. Дискретні випадкові величини. Функція розподілу. Основні закони розподілу 33

2.1.2. Неперервні випадкові величини. Щільність розподілу. Основні закони розподілу 35

2.2. Числові характеристики випадкових величин 41

Числові характеристики деяких розподілів 45

2.3. Рівномірний, показниковий, нормальний розподіли 51

2.4. Граничні теореми теорії ймовірностей. Закон великих чисел і центральна гранична теорема. Нерівність ЧебишОва 57

2.4.1. Лема Чебишова 57

2.4.2. Теорема Чебишова 58

2.4.3. Теорема Бернуллі 59

2.5. Двовимірна випадкова величина 62

2.5.1. Закон розподілу ймовірностей. Закони розподілу компонент 62

2.5.2. Функція розподілу двовимірної випадкової величини та її властивості 64

2.5.3. Щільність сумісного розподілу ймовірностей неперервної двовимірної випадкової величини, основні властивості. Ймовірність попадання випадкової точки в задану область 65

2.5.4. Умовні закони розподілу складових системи дискретних і неперервних випадкових величин. Залежні та незалежні випадкові величини 67

2.5.5. Числові характеристики двовимірної випадкової величини. Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції 77

Числові характеристики двовимірної випадкової величини 79

2.5.6. Умовні числові характеристики двовимірної випадкової величини. Регресія 85

Розділ III ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ 90

3.1. Предмет та основні завдання математичної статистики 90

3.2. Генеральна та вибіркова сукупності. Вибірка. Способи відбору 90

3.3. Статистичний розподіл вибірки 92

3.4. Графічне зображення статистичних розподілів 97

Рис. 3.1. Гістограма частот за даними прикладу 3.1 99

Рис. 3.2. Полігон частот за даними таблиці 3.6 99

3.5. Емпірична функція розподілу. Кумулята 99

3.6. Числові характеристики статистичного розподілу вибірки 101

3.7. Статистичні оцінки параметрів генеральної сукупності 108

3.7.1. Статистичні оцінки невідомих параметрів розподілу та їх властивості 108

3.7.2. Статистична оцінка математичного сподівання 109

3.7.3. Статистична оцінка дисперсії. Виправлена дисперсія 109

3.7.4. Метод моментів статистичного оцінювання параметрів розподілу 111

3.7.5. Метод максимуму правдоподібності статистичного оцінювання параметрів розподілу 113

3.8. Інтервальні оцінки параметрів розподілу 116

3.8.1. Надійність. Інтервал довіри 116

3.8.2. Розподіл – “хі-квадрат” 117

3.8.3. Розподіл Стьюдента 118

3.8.4. Розподіл Фішера-Снедекора 118

3.8.5. Інтервальні оцінки для математичного сподівання 118

3.8.6. Оцінка істинного значення вимірюваної величини 121

3.8.7. Інтервали довіри для середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини 122

3.8.8. Оцінка точності вимірювань 124

3.9. Елементи теорії кореляції 126

3.9.1. Функціональна, статистична й кореляційна залежності 126

3.9.2. Вибірковий коефіцієнт кореляції. Коефіцієнт детермінації 126

3.9.3. Основні поняття і методи регресійного аналізу 131

3.9.4. Метод найменших квадратів 132

Рис. 3.3. Діаграма розсіювання точок 132

3.10. Статистична перевірка статистичних гіпотез 136

3.10.1. Статистичні гіпотези. Помилки першого та другого роду 136

3.10.2. Статистичний критерій перевірки нульової гіпотези 138

3.10.3. Перевірка гіпотези про закон розподілу. Критерій згоди Пірсона 140

3.10.4. Перевірка гіпотези про порівняння середнього значення ознаки генеральної сукупності зі стандартом 145

3.10.5. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох незалежних випадкових величин 150

3.10.6. Перевірка гіпотези про значущість коефіцієнта кореляції 151

Список використаної та рекомендованої літератури 155

Додаток А 157

Додаток Б 158

Додаток В 159

Додаток Г 160

Додаток Д 161

Додаток Е 162

Додаток Ж 163

Вступ

Практикум укладено відповідно до програми з курсу “Вища математика для економістів”.

Дане видання ставить за мету допомогти студентам самостійно оволодіти методами розв’язання задач з курсу “Теорія ймовірностей і математична статистика”.

Це визначило структуру посібника.

У кожному розділі (підрозділі) наведені короткі теоретичні відомості і формули, необхідні для рішення задач, дані зразки розв’язання задач, що сприяє глибокому засвоєнню теоретичного матеріалу. Після кожного підрозділу даються завдання для самоконтролю у вигляді питань, а також вправ для самостійного розв’язання.

Завдання для самостійної роботи слід виконувати після опрацювання теоретичного матеріалу і розгляду зразків розв’язування прикладів.

Завершується книга довідковим матеріалом для розв’язання практичних задач – статистичними таблицями.

Написання матеріалу між авторами розподіляється так: розділи І, ІІ – Т.І. Малютіна, розділ ІІІ – К.А. Дахер.

Книга орієнтована на студентів економічних спеціальностей.