7.Теореми двоїстості.

Якщо відомо оптимальне рішення прямої за-дачі(ПЗ), то за допомогою теореми двоїстості можливо знайти оптимальний розв’язок ДЗ. Теорема1.(теорема про існування)За допо-могою цієї теореми має місце твердження

Тобто, якщо відома величина оптимального значення цільової ф-ції ПЗ, то відоме оптима-льне значення і ДЗ. На основі цієї теореми існує відповідність між змінними П і ДЗ нас-тупним чином

де та - основні змінні відповідних за-дач, та - дод. змінні відповідних за-дач. Теорема 2. (теорема про рівновагу). Для оптимальних розв’язків двоїстої пари задач необхідно і достатньо щоб виконувались наступні умови:

1. ;2.

Згідно з цією теоремою можливо встановити значення змінних ДЗ за допомогою поведін-ки обмежень ПЗ. Тобто, якщо обмеження ПЗ становиться строгим рівнянням, то відповідно змінна ДЗ не дорівнює нулю і навпаки.

Теорема 3. (про оцінки)Величина на ск. зміниться величина ціл. ф-ції ПЗ, якщо відповідно вихідний ресурс змінюється на одиницю , за допомогою теорем двоїстості можливо проводити аналіз оптима-льного варіанта на рентабельність (теор. 1 і 2), аналіз на дефіцитність ресурсів (т. 1 і 2) та знаходження межових значень величин вихідних ресурсів , при яких не змінюється величини двоїстих оцінок (т. 3). Крім того за допомогою т. 3 можливе обґрунтування доці-льності вир-ва додаткової вихідної продукції.

8.Розв’язування двоїстої задачі.

По відомому оптимальному розв’язку ПЗ знаходиться оптимальний розв’язок ДЗ двома способами: 1. Розв’язування ПЗ задано у вигляді останньої симплексної таблиці, тоді згідно з теоремами має місце наступний взаємозв’язок

Згідно т.1 знах. значення ціл. ф-ції ДЗ 2. Випадок, коли відомі тільки величини Xj та F оптимального варіанту ПЗ. У цьому випадку використовується друга теорема двоїстості: проводиться аналіз поведінки кожного обме-ження ПЗ. Для цього величини Xj підстав. у відповідні обмеження і якщо дане обмеження перетворюється в строге рівняння, то відпові-дна зміна ДЗ і навпаки.Тобто, зна-ходимо усі нульові змінні ДЗ, а потім вони виключаються за мат. моделі ДЗ і одерж. сис-тема рівнянь відносно змінних Yi розв’яз. і знах. опт. варіант ДЗ.Цільова ф-ція ДЗ знаходиться за теор. 1.

10.Умови оптимальності в тз, її обґрунтування.

Згідно з теорією двоїстості відомо, що змінні двоїстої ТЗ зображуються множиною змінних Ui, які називають потенціалами пунктів пос-тачання, та множиною змінних Vj – потенціа-лами пунктів постачання. Кожна пара вели-чин Ui та Vj вказує на прив’язку точок / ij /, тобто кожна клітина таблиці перевезень зоб-ражується у вигляді потенціалів рядка та ко-лонки, на перетині яких знаходиться змінна Xij. Потенціали рядків Ui та колонок Vj знахо-дяться розв’язанням системи рівнянь потенці-алів, яку будують із сукупності базисних змін-них даного плану. За знайденими значення-ми Ui та Vj дістають побічні вартості С`ij(іноді їх називають псевдо вартостями або тарифа-ми).Величини С`ij характеризують конкрет-ний план розподілу ресурсів та відображають дійсні коефіцієнти вартості знайденого плану.

Для кожного припустимого плану знаходять Ui та Vj, а потім побічні вартості Ui + Vj = С`ij . Таким чином, для кожного плану розподілу ресурсів є множина коефіцієнтів С`ij та мно-жина заданих коефіцієнтів Сij, за допомогою яких можна проаналізувати конкретний план розподілу на оптимальність. Для цього вико-ристовують обмеження двоїстої ТЗ: Ui + Vj <=Сij або С`ij <=Сij

та другу теорему двоїстості

Xij(Ui + Vj - Сij)=0 або Xij(С`ij - Сij )=0

Згідно з цими співвідношеннями опт. розв’я-зок ТЗ досягають тоді, коли виконуються такі умови: для базисних змінних Xij 0, С`ij = Сij; для вільних змінних Xij =0 не повинні порушуватись обмеження ДЗ С`ij <= Сij. У загальному випадку умови оптимальності мають вигляд , іноді умови оптимальності записують у вигляді:

,

ці величини відповідають елементам індексного рядка симплекс-таблиці.