3.Симплексний метод: ідея, вимогита умови оптимальності.

Симплексний метод є універсальним методом для розв’язування задачі лінійного програму-вання. Він базується на розв’язуванні системи рівнянь методом Д.Гауса. Щоб знайти опти-мальний варіант використовується ідеї цілес-прямованого пошуку,тобто наступний варіант краще попереднього. Для цього використову-ється оціночні коефіцієнти по кожній змінній задачі Jj. Коефіцієнти Jj характеризують поведінку кожної змінної. За допомогою Jj знаходиться оптимальний розв’язок. Опт. розв’язок моделі вважається наступним:

1.Якщо , то всі коефіцієнти .

2.Якщо , то всі коефіцієнти . Симплексний метод потребує виконання таких умов:1.Математична модель яка відпо-відає умовам є стандартною формою:1)Усі праві частині обмежень мають бути не від’єм-ними 2)Усі обмеження мають бути строгими рівняннями. Для цього в кожне обмеження вводиться додаткові змінні, які балансують ліву та праву частину обмеження ; Додаткові змінні мають економічний зміст дефіцит або залишок ресурсів, тобто в оптимальному варіанті вони приймають деякі значення. Щоб додаткові зміні не впливали не величину цільової функції вони вводяться до нею з нульовими коефіцієнтами.

;

3)Сукупних базисних змінних повинно скла-дати одиничний базис. Якщо обмеження типу « », то такий базис складається автоматично при перетворенні обмежень до строгих рівня-нь. Якщо « », то такий базис не існує, тому що коефіцієнти при додаткових змінних дорівнюють -1. Щоб скласти одиничний базис у цьому випадку необхідно крім додаткової змінної треба ввести штучну змінну з коефіці-єнтом +1.Штучна змінна не має економічного характеру, тому в оптимальному варіанті така змінна має мати нульове значення. Для цього всі штучні змінні вводяться до цільової функції з великими коефіцієнтами М знак якого протилежний напрямку цільової функції. Якщо , то +М; Якщо , то -М; Якщо «=», то необхідно ввести тільки штучну змінну.

4.СМ: алгоритм розв’язування Кожний допустимий розв’язок відображає-ться симплексною таблицею. Таблиця. Два рядка зверху відображають цільову функцію: 2-ї – перелік змінних; 1-ї – оціночні коефіціє-нти. В основних рядках записуються обмеже-ння моделі за допомогою коефіцієнтів Aij. Три лівих стовбця – базис: 3-ї - записується праві частини відповідних обмежень; 2-ї – записую-ться змінні які формують одиничний базис; 1-ї – записуються оціночні коефіцієнти з цільо-вої функції при базисних змінних. Кожна збу-дована симплексна таблиця відповідає допус-тимому розв’язку, який знаходиться: 1)Всі базисні змінні дорівнюють відповідним зна-ченням ( ); 2)Інші змінні що не увійшли до базису дорівнюють нулю. Для аналізу одержаного розв'язку на оптимальні-сть використання оціночні коефіцієнти Jj, які записуються в останньому рядку, вони знахо-дяться так: Якщо одержаний варіант не оптимальний, то потрібно намалю-вати наступну таблицю згідно з алгоритмом симплексного методу. Алгоритм перетворен-ня: 1)В останньому рядку Jj, яка більш всього порушує умови оптимальності, така оцінка показує Jk – ключовий стовбець. 2)Знаход-ження ключового рядка ik. Для цього по кож-ному рядку знаходиться симплексне віднош-ення , для всіх не від'ємних (Аij>0); Мінімальне відношення відповідає ключову рядку. 3)На перетині ik та jk знаходиться доз-воляючий елемент . Якщо не існує, то цільова функція має не обмежене значення. 4)Знаходження елементів нової симплексної таблиці за допомогою формул перетворень методу Жордана – Гауса:

4.1.Усі елементи ключової строки

;

4.2. . 5)Складання нової сукупності базисних змінних. Змінна становиться на місце (.6)Аналіз одержаного варіанта на оптимальність. Оптимальне рішення буде, тоді коли всі штучні змінні вийдуть з басизу.