Максимум и минимум функции.

Приведем точные определения точек экстремума.  Определение. Точка x₀ называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀.  Это наглядно показано на рисунке 1:    рисунок 1  Определение. Точка x₀ называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀.  Это наглядно показано на рисунке 2:    рисунок 2  По определению значение функции f в точке x₀ является наибольшим среди значений функции в окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности x₀ имеет обычно либо вид гладкого холма, либо вид острого пика (рис. 1 а) и б) соответственно).  В окрестности точки минимума графики изображаются в виде загругленной или острой впадины (рис. 2 а) и б) соответственно).  Другие примеры поведения графиков функций в точках максимума и минимума приведены на рисунке ниже:    Слева направо: a - точка максимума; a - точка минимума; каждая точка из промежутка [-1; 0] является как точкой максимума, так и точкой минимума.  Для точек минимума и максимума функции есть общее определение - точки экстремума. Значение функции в этих точках соответственно назывется максимумом или минимумом этой функции. Общее название - экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают x_max, а точки минимума - x_min.

Билет 15

 Теоремы о связи между непрерывностью и дифференцируемостью.

Теорема (дифференцируемость и непрерывность). Если  функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то то ее приращение представимо в виде (1), из которого следует, что lim_ x 0 y = 0, что означает непрерывность функции в данной точке.

Заметим, что из непрерывности в данной точке не следует дифференцируемость в этой точке. Это видно из рассмотренного выше примера 4.

Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция называетсякусочно гладкой.

Правила дифференцирования

Приведем основные правила для нахождения производной:

1. Производная постоянной равна нулю, то есть c' = 0.

2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть

u(x) v(x))' = u'(x) v'(x).

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cu(x))' = cu'(x).

4. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(u(x)/v(x))' = (u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v2(x)

при условии, что v(x) 0.